Exercice 11 Composer des transformations

1. Notons $X$, $X'$ et $X''$ les matrices colonnes des coordonnées de $M$, $M'$ et $M''$. Par définition, $X'=TX$ et $X''=T'X'$. Le produit matriciel étant associatif (chapitre 3) : $$X''=T'(TX)=(T'T)X$$

$$\boxed{\text{la transformation « } T \text{ puis } T' \text{ » a pour matrice } T'T}$$ La matrice de la transformation appliquée en premier est écrite à droite, au plus près de $X$. C'est le même ordre que pour la composée de fonctions $g\circ f$.

2. $S_{x}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ et $S_{y}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, donc : $$S_{y}S_{x}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ C'est la matrice de la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi$ (exercice 9) : la composée des deux symétries axiales est la symétrie centrale de centre $O$.

3. On calcule : $$R\left(\tfrac{\pi}{6}\right)^{2}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\[1mm] \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}^{2} =\begin{pmatrix} \frac{3}{4}-\frac{1}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4} \\[1mm] \frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4} & -\frac{1}{4}+\frac{3}{4} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\[1mm] \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}=R\left(\tfrac{\pi}{3}\right)$$ C'était prévisible : tourner deux fois de $\frac{\pi}{6}$ revient à tourner de $\frac{\pi}{3}$. L'exercice 23 généralisera ce résultat.

4. En utilisant $\cos(-\theta)=\cos(\theta)$ et $\sin(-\theta)=-\sin(\theta)$ : $$R(\theta)R(-\theta)=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

$$\boxed{R(\theta)^{-1}=R(-\theta)}$$ Pour défaire une rotation d'angle $\theta$, il suffit de tourner d'un angle $-\theta$. On retrouve aussi ce résultat avec la formule de l'inverse d'une matrice $2\times 2$, puisque $\det\big(R(\theta)\big)=\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta)=1$.

5. $$S_{x}R\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$R\left(\tfrac{\pi}{2}\right)S_{x}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Les deux produits sont différents : l'ordre dans lequel on enchaîne deux transformations compte, ce qui traduit géométriquement la non-commutativité du produit matriciel vue au chapitre 3. La seconde matrice échange les deux coordonnées : c'est la symétrie par rapport à la droite d'équation $y=x$, comme le montrera l'exercice 22.