Exercice 10

Commençons par vérifier que la question a un sens : une rotation de centre $O$ conserve les distances à $O$. $$OA=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+7^{2}}=\sqrt{3+49}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

$$OD=\sqrt{\left(-4\sqrt{3}\right)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{48+4}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$ Les deux points sont bien à la même distance de $O$ : une telle rotation peut exister.

En notant $\theta$ l'angle cherché, l'égalité matricielle s'écrit : $$\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4\sqrt{3} \\ -2 \end{pmatrix} \qquad \text{soit} \qquad \left\{\begin{array}{rcl} \sqrt{3}\cos(\theta)-7\sin(\theta) &=& -4\sqrt{3} \\ 7\cos(\theta)+\sqrt{3}\sin(\theta) &=& -2 \end{array}\right.$$ C'est un système linéaire d'inconnues $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$. En multipliant la première ligne par $\sqrt{3}$ et la seconde par $7$, puis en additionnant : $$3\cos(\theta)-7\sqrt{3}\sin(\theta)+49\cos(\theta)+7\sqrt{3}\sin(\theta)=-12-14$$

$$52\cos(\theta)=-26 \qquad \text{d'où} \qquad \cos(\theta)=-\frac{1}{2}$$ En reportant dans la seconde équation : $$\sqrt{3}\sin(\theta)=-2-7\times\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2} \qquad \text{d'où} \qquad \sin(\theta)=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Le cosinus est négatif et le sinus positif : l'angle est dans le deuxième quadrant. $$\boxed{\theta\equiv\frac{2\pi}{3}\;[2\pi]}$$ Vérification dans la première équation : $\sqrt{3}\times\left(-\frac{1}{2}\right)-7\times\frac{\sqrt{3}}{2} =-\frac{8\sqrt{3}}{2}=-4\sqrt{3}$.