Exercice 9 Reconnaître une transformation

1. On compare aux matrices du cours :

• $T_{1}$ est la matrice de la symétrie d'axe l'axe des ordonnées ;

• $T_{2}$ est la matrice de l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ ;

• $T_{3}$ est la matrice de la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$, puisque $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ ;

• $T_{4}$ est à la fois la matrice de l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-1$ et celle de la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi$, puisque $\cos(\pi)=-1$ et $\sin(\pi)=0$. Ces deux transformations sont en fait la même : c'est la symétrie centrale de centre $O$, qui envoie $M(x;y)$ sur $M'(-x;-y)$.

2. On multiplie chaque matrice par la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ dont les colonnes sont les coordonnées de $A$, $B$ et $C$ : cela fait les trois calculs d'un coup.

3. On obtient la figure suivante.

Le triangle $ABC$ est en bleu ardoise, son image par $T_{1}$ en violet et son image par $T_{3}$ en ocre. L'image violette est retournée : la symétrie change le sens de parcours des sommets. L'image ocre a simplement tourné d'un quart de tour autour de $O$. Les deux images ont les mêmes longueurs que $ABC$, ce qui n'est pas le cas de l'image par $T_{2}$, dont les côtés sont deux fois plus longs.