Exercice 8

On rappelle les deux écritures matricielles du cours. Pour la translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$, l'image $M'$ de $M$ vérifie : $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$$ et pour la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ : $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

1. Il s'agit d'une addition de matrices colonnes : $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \qquad \boxed{A'(5\,;4)}$$

2. Même opération, avec des fractions : $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\[1mm] -\frac{1}{6} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -\frac{2}{5} \\[1mm] \frac{1}{3} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{5}{10}-\frac{4}{10} \\[1mm] -\frac{1}{6}+\frac{2}{6} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{1}{10} \\[1mm] \frac{1}{6} \end{pmatrix} \qquad \boxed{B'\left(\frac{1}{10}\,;\frac{1}{6}\right)}$$

3. Il s'agit d'un produit par la matrice de rotation d'angle $\dfrac{\pi}{3}$, pour laquelle $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\[1mm] \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{2} \\[1mm] \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{1-3}{2} \\[1mm] \sqrt{3} \end{pmatrix}$$

4. Ici $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\[1mm] -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\[1mm] \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$ En utilisant $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$ : $$x'=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \qquad ; \qquad y'=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

$$\boxed{D'\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\,;\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)}$$ On peut contrôler que la rotation conserve les distances : $OD=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}=\sqrt{2}$, et $OD'=\sqrt{\frac{(1+\sqrt{3})^{2}+(1-\sqrt{3})^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{8}{4}}=\sqrt{2}$.