Exercice 7 Cercle passant par trois points

1. $M$ appartient à $\mathcal{C}$ si et seulement si $\Omega M=r$, c'est-à-dire, les deux membres étant positifs, $\Omega M^{2}=r^{2}$. Avec la formule de la distance dans un repère orthonormé : $$M\in\mathcal{C} \iff (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}$$ En développant : $x^{2}+y^{2}-2x_{0}x-2y_{0}y+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}=0$, qui est bien de la forme annoncée avec : $$a=-2x_{0}, \qquad b=-2y_{0}, \qquad c=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}$$

2. On écrit que les coordonnées de $A$, $B$ et $C$ vérifient l'équation : $$\left\{\begin{array}{rcl} 25+9+5a+3b+c &=& 0 \\ 9+1-3a-b+c &=& 0 \\ 36+16+6a-4b+c &=& 0 \end{array}\right. \iff \underbrace{\begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \\ 6 & -4 & 1 \end{pmatrix}}_{M} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix} -34 \\ -10 \\ -52 \end{pmatrix}}_{N}$$ Les inconnues sont ici $a$, $b$ et $c$, et non $x$ et $y$, qui ont été remplacés par des valeurs numériques.

3. La calculatrice donne : $$M^{-1}=\frac{1}{60}\begin{pmatrix} 3 & -7 & 4 \\ 9 & -1 & -8 \\ 18 & 38 & 4 \end{pmatrix} \qquad \text{et} \qquad \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=M^{-1}N=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -20 \end{pmatrix}$$

4. Le cercle a pour équation $x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0$. On fait apparaître les formes canoniques : $$(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1-20=0 \iff (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25$$

Les trois sommets du triangle, en bleu ardoise, sont bien sur le cercle ocre de centre $\Omega$. Le rayon en pointillés vaut $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$. Le centre $\Omega$ est aussi le point de concours des médiatrices du triangle : on aurait pu le trouver ainsi, mais la méthode matricielle évite de calculer les équations de deux médiatrices.