Exercice 6 Système à paramètre

1. $(S_{m})$ s'écrit $AX=B$ avec $A=\begin{pmatrix} m & 2 \\ 2 & m \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 \\ m-1 \end{pmatrix}$. On a : $$\det(A)=m^{2}-4=(m-2)(m+2)$$

2. Pour $m\notin\{-2\,;2\}$ : $$X=A^{-1}B=\frac{1}{m^{2}-4}\begin{pmatrix} m & -2 \\ -2 & m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ m-1 \end{pmatrix} =\frac{1}{m^{2}-4}\begin{pmatrix} m-2m+2 \\ -2+m^{2}-m \end{pmatrix}$$

$$X=\frac{1}{(m-2)(m+2)}\begin{pmatrix} -(m-2) \\ (m-2)(m+1) \end{pmatrix}$$ après avoir factorisé $m^{2}-m-2=(m-2)(m+1)$. On simplifie par $m-2\neq 0$ : $$\boxed{S=\left\{\left(-\frac{1}{m+2}\,;\frac{m+1}{m+2}\right)\right\}}$$ Contrôle avec $m=0$ : le système devient $2y=1$ et $2x=-1$, soit $\left(-\frac{1}{2}\,;\frac{1}{2}\right)$, ce que donne bien la formule.

3. Les deux cas restants se traitent à la main.

• Pour $m=2$ : le système est $\left\{\begin{array}{l} 2x+2y=1 \\ 2x+2y=1 \end{array}\right.$, ses deux équations sont identiques. Il y a une infinité de solutions : $$\boxed{S=\left\{\left(x\,;\tfrac{1}{2}-x\right),\ x\in\mathbb{R}\right\}}$$

• Pour $m=-2$ : le système est $\left\{\begin{array}{l} -2x+2y=1 \\ 2x-2y=-3 \end{array}\right.$. La seconde équation équivaut à $-2x+2y=3$, ce qui contredit la première : $$\boxed{S=\varnothing}$$

On retrouve les deux situations de l'exercice 3 : un déterminant nul peut donner une infinité de solutions comme aucune.