Exercice 5 À la boulangerie

1. Le système et son écriture matricielle sont : $$\left\{\begin{array}{rcl} 3x+2y+z &=& 7{,}10 \\ 2x+4y+2z &=& 9{,}80 \\ 5x+y+3z &=& 10{,}40 \end{array}\right. \qquad \Longleftrightarrow \qquad \underbrace{\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}}_{X} =\underbrace{\begin{pmatrix} 7{,}10 \\ 9{,}80 \\ 10{,}40 \end{pmatrix}}_{B}$$

2. La calculatrice donne : $$A^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix} 10 & -5 & 0 \\ 4 & 4 & -4 \\ -18 & 7 & 8 \end{pmatrix} \qquad \text{puis} \qquad X=A^{-1}B=\begin{pmatrix} 1{,}10 \\ 1{,}30 \\ 1{,}20 \end{pmatrix}$$

$$\boxed{\text{un croissant coûte } 1{,}10~\text{€},\ \text{un pain au chocolat } 1{,}30~\text{€},\ \text{une baguette } 1{,}20~\text{€}}$$ Vérification pour le premier client : $3\times 1{,}10+2\times 1{,}30+1{,}20=3{,}30+2{,}60+1{,}20=7{,}10$.

3. Le quatrième client paie : $$4\times 1{,}10+3\times 1{,}30+2\times 1{,}20=4{,}40+3{,}90+2{,}40=\boxed{10{,}70~\text{€}}$$