Exercice 4

1. Un point appartient à la parabole si ses coordonnées vérifient $y=ax^{2}+bx+c$. On traduit donc les trois appartenances : $$P(1\,;4) : a+b+c=4 \qquad Q(-2\,;-5) : 4a-2b+c=-5 \qquad R(-1\,;0) : a-b+c=0$$

$$(S) : \left\{\begin{array}{rcl} a+b+c &=& 4 \\ 4a-2b+c &=& -5 \\ a-b+c &=& 0 \end{array}\right.$$ Les inconnues sont ici $a$, $b$ et $c$ — et non $x$ et $y$. D'où l'écriture matricielle $AX=B$ avec : $$\boxed{A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad ; \quad X=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \quad ; \quad B=\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}}$$

2. Il suffit de vérifier que $AC=I_{3}$ : $$AC=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & -3 \\ 2 & -2 & 6 \end{pmatrix}$$ Ligne par ligne : $$\begin{aligned} \text{ligne 1 :} &\quad (1+3+2\;;\;2+0-2\;;\;-3-3+6)=(6\;;\;0\;;\;0) \\ \text{ligne 2 :} &\quad (4-6+2\;;\;8+0-2\;;\;-12+6+6)=(0\;;\;6\;;\;0) \\ \text{ligne 3 :} &\quad (1-3+2\;;\;2-0-2\;;\;-3+3+6)=(0\;;\;0\;;\;6) \end{aligned}$$

3. $X=A^{-1}B=CB$ : $$X=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & -3 \\ 2 & -2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} =\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 4-10-0 \\ 12-0-0 \\ 8+10+0 \end{pmatrix} =\frac{1}{6}\begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ 18 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

$$\boxed{a=-1 \quad ; \quad b=2 \quad ; \quad c=3}$$ La parabole cherchée a donc pour équation : $$\boxed{y=-x^{2}+2x+3}$$ On vérifie sur les trois points : $-1+2+3=4$ pour $P$, $-4-4+3=-5$ pour $Q$, et $-1-2+3=0$ pour $R$.