Exercice 3 Quand la matrice n'est pas inversible

1. Les trois systèmes s'écrivent $AX=B$ avec $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et : $$(S_{1}) : A_{1}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\ B_{1}=\begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix} \quad ; \quad (S_{2}) : A_{2}=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\ B_{2}=\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$$

2. Comme $\det(A_{1})=7\neq 0$, la matrice $A_{1}$ est inversible : $$A_{1}^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \qquad \text{et} \qquad X=A_{1}^{-1}B_{1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 4+10 \\ -2+30 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$$

$$\boxed{S_{1}=\left\{(2\,;4)\right\}}$$ On vérifie : $3\times 2-4=2$ et $2+2\times 4=10$.

3. La matrice $A_{2}=A_{3}$ a un déterminant nul : elle n'est pas inversible, et la Proposition 1 ne dit rien de ces deux systèmes. Il faut les étudier à la main. Dans les deux cas, la première équation est le double de $2x+4y$, qui vaut $2(x+2y)$.

• Pour $(S_{3})$, la seconde équation donne $x+2y=3$, donc $2x+4y=6$, ce qui contredit $2x+4y=1$. Le système $(S_{3})$ n'a aucune solution.

• Pour $(S_{2})$, la première équation est exactement le double de la seconde : le système se réduit à la seule équation $x+2y=3$, soit $x=3-2y$. Le système $(S_{2})$ admet une infinité de solutions : $$\boxed{S_{2}=\left\{(3-2y\,;y),\ y\in\mathbb{R}\right\}}$$

L'erreur la plus répandue est de conclure « $\det(A)=0$, donc pas de solution ». Ce n'est pas ce que dit le cours : un déterminant nul signifie seulement qu'il n'y a pas une unique solution. Il peut n'y en avoir aucune, ou une infinité.

4. Chaque équation $ax+by=c$, avec $(a\,;b)\neq(0\,;0)$, est celle d'une droite, et résoudre le système revient à chercher les points communs aux deux droites.

En bleu ardoise la première équation, en violet la seconde. Les deux droites de $(S_{1})$ se coupent en un seul point. Celles de $(S_{2})$ sont confondues, d'où une infinité de points communs. Celles de $(S_{3})$ sont strictement parallèles et n'ont aucun point commun. Le déterminant nul traduit exactement le parallélisme des deux droites, comme en Seconde avec le critère de colinéarité des vecteurs directeurs.