Exercice 27 Transformation de $a\cos(x)+b\sin(x)$

1. Comme $r>0$ et $\left(\frac{a}{r}\right)^{2}+\left(\frac{b}{r}\right)^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{r^{2}}=1$, le point $\left(\frac{a}{r}\,;\frac{b}{r}\right)$ est sur le cercle trigonométrique : il existe un réel $\varphi$ tel que $\frac{a}{r}=\cos(\varphi)$ et $\frac{b}{r}=\sin(\varphi)$. Alors : $$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix}$$ Cette transformation fait tourner chaque point d'un angle $\varphi$ autour de $O$, puis multiplie les distances à $O$ par $r$. C'est la traduction matricielle de la multiplication par $a+ib=r\mathrm{e}^{i\varphi}$ (chapitre 5 et exercice 13).

2. D'une part, le calcul direct donne : $$\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos(x) \\ \sin(x) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cos(x)+b\sin(x) \\ -b\cos(x)+a\sin(x) \end{pmatrix}$$ D'autre part, $\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} \cos(\varphi) & \sin(\varphi) \\ -\sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix}=rR(-\varphi)$. Le point $M$ est le point du cercle trigonométrique d'angle $x$ ; la rotation d'angle $-\varphi$ l'envoie sur le point d'angle $x-\varphi$, d'où : $$rR(-\varphi)\begin{pmatrix} \cos(x) \\ \sin(x) \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} \cos(x-\varphi) \\ \sin(x-\varphi) \end{pmatrix}$$ En identifiant les premières coordonnées : $$\boxed{a\cos(x)+b\sin(x)=r\cos(x-\varphi)}$$

3. Ici $a=1$, $b=\sqrt{3}$, $r=\sqrt{1+3}=2$, $\cos(\varphi)=\frac{1}{2}$ et $\sin(\varphi)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\varphi=\frac{\pi}{3}$ convient : $$\boxed{\cos(x)+\sqrt{3}\sin(x)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}$$ Un cosinus étant au plus égal à $1$, l'expression vaut au plus $2$, et ce maximum est atteint pour $x=\frac{\pi}{3}$. Pour l'équation : $$2\cos\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2} \iff \cos\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} \iff x-\tfrac{\pi}{3}\equiv\tfrac{\pi}{4}\;[2\pi] \ \text{ ou } \ x-\tfrac{\pi}{3}\equiv-\tfrac{\pi}{4}\;[2\pi]$$

$$\boxed{S=\left\{\frac{\pi}{12}\,;\frac{7\pi}{12}\right\}}$$ Contrôle numérique : $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\approx 0{,}966+1{,}732\times 0{,}259\approx 1{,}414\approx\sqrt{2}$.

4. D'après la question 1, cette matrice vaut $2I_{2}\times R\left(\frac{\pi}{3}\right)$. Comme $2I_{2}$ commute avec toute matrice, et d'après l'exercice 23 : $$\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}^{6}=2^{6}R\left(\tfrac{\pi}{3}\right)^{6}=64\,R(2\pi)=\boxed{\begin{pmatrix} 64 & 0 \\ 0 & 64 \end{pmatrix}}$$ On retrouve $\left(1+i\sqrt{3}\right)^{6}=\left(2\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}\right)^{6}=64\mathrm{e}^{2i\pi}=64$, calculé avec la formule de Moivre au chapitre 5.