Exercice 26 Rotations à coefficients rationnels

1. On met au même dénominateur : $$c(t)^{2}+s(t)^{2}=\frac{(1-t^{2})^{2}+4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{1-2t^{2}+t^{4}+4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{(1+t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=1$$

2. Pour $t=\frac{1}{2}$ : $1+t^{2}=\frac{5}{4}$, donc $c=\frac{3/4}{5/4}=\frac{3}{5}$ et $s=\frac{1}{5/4}=\frac{4}{5}$. $$R_{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, \qquad R_{t}\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \qquad R_{t}\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$$ Les images de $A$ et $B$ sont $A'(3\,;4)$ et $B'(-4\,;3)$ : la rotation envoie ces points à coordonnées entières sur d'autres points à coordonnées entières du cercle de centre $O$ et de rayon $5$.

3. $$R_{t}^{2}=\frac{1}{25}\begin{pmatrix} -7 & -24 \\ 24 & -7 \end{pmatrix} \qquad ; \qquad R_{t}^{3}=\frac{1}{125}\begin{pmatrix} -117 & -44 \\ 44 & -117 \end{pmatrix}$$ Une puissance de matrice de rotation est encore une matrice de rotation (exercice 23), donc la somme des carrés des coefficients de sa première colonne vaut $1$. En multipliant par $25^{2}$ et $125^{2}$ : $$\boxed{7^{2}+24^{2}=25^{2} \qquad \text{et} \qquad 44^{2}+117^{2}=125^{2}}$$ Vérification : $49+576=625$ et $1\,936+13\,689=15\,625$.

4. Pour $t=\frac{p}{q}$, on multiplie numérateur et dénominateur par $q^{2}$ : $$c(t)=\frac{q^{2}-p^{2}}{q^{2}+p^{2}}, \qquad s(t)=\frac{2pq}{q^{2}+p^{2}}$$ Ce sont des quotients d'entiers, avec $q^{2}+p^{2}\geqslant q^{2}>0$ : les coefficients de $R_{t}$ sont rationnels. L'égalité $c^{2}+s^{2}=1$, multipliée par $\left(q^{2}+p^{2}\right)^{2}$, donne : $$\boxed{\left(q^{2}-p^{2}\right)^{2}+(2pq)^{2}=\left(q^{2}+p^{2}\right)^{2}}$$ Directement : $\left(q^{2}-p^{2}\right)^{2}+4p^{2}q^{2}=q^{4}-2p^{2}q^{2}+p^{4}+4p^{2}q^{2}=q^{4}+2p^{2}q^{2}+p^{4}=\left(q^{2}+p^{2}\right)^{2}$.

Avec $p=1$, $q=2$, on retrouve le triplet $(3\,;4\,;5)$. Cette formule fournit une infinité de triangles rectangles à côtés entiers, appelés triplets pythagoriciens. Le poly dont s'inspire cet exercice montre que l'on obtient ainsi, au facteur près, tous les points du cercle trigonométrique à coordonnées rationnelles, sauf $(-1\,;0)$.