ExerciceMaths expertes, chapitre 6 — Applications des matrices · Pour aller plus loin

Exercice 25 Interpolation de Lagrange

DémonstrationCalcul

Soient $y_{0}$ , $y_{1}$ et $y_{2}$ trois réels. On cherche une fonction polynôme $P$ de degré au plus $2$ , $P(x)=ax^{2}+bx+c$ , telle que $P(-1)=y_{0}$ , $P(0)=y_{1}$ et $P(1)=y_{2}$ .

1. Montrer que ce problème s'écrit $VX=Y$ , avec $X=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix} y_{0} \\ y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}$ , où $V$ est une matrice que l'on précisera.

2. Vérifier, sans calculatrice, que la matrice $W=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\[1mm] -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ est l'inverse de $V$ . En déduire que le problème admet une unique solution, et exprimer $a$ , $b$ et $c$ en fonction de $y_{0}$ , $y_{1}$ et $y_{2}$ .

3. On pose $L_{0}(x)=\dfrac{x(x-1)}{2}$ , $L_{1}(x)=1-x^{2}$ et $L_{2}(x)=\dfrac{x(x+1)}{2}$ . Calculer $L_{j}(-1)$ , $L_{j}(0)$ et $L_{j}(1)$ pour $j\in\{0;1;2\}$ , puis montrer que $P=y_{0}L_{0}+y_{1}L_{1}+y_{2}L_{2}$ . Quel lien y a-t-il entre les polynômes $L_{j}$ et la matrice $W$  ?

4. Exprimer $P(2)$ en fonction de $y_{0}$ , $y_{1}$ et $y_{2}$ . Contrôler ce résultat avec $y_{0}=1$ , $y_{1}=4$ et $y_{2}=9$ .

Source : inspiré de poly « Mathématiques : du lycée aux CPGE scientifiques » (LLG / H4), n° 442 (transposition matricielle)

Corrigé

1. $P(-1)=a-b+c$ , $P(0)=c$ et $P(1)=a+b+c$ , d'où : $\boxed{V=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$

2. On calcule $VW$ ligne par ligne : $VW=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0 & -1+0+1 & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}+0 \\[1mm] 0+0+0 & 0+0+1 & 0+0+0 \\[1mm] \frac{1}{2}-\frac{1}{2}+0 & -1+0+1 & \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0 \end{pmatrix}=I_{3}$ Une matrice carrée $W$ telle que $VW=I_{3}$ est l'inverse de $V$ (chapitre 3), donc $V$ est inversible. D'après la Proposition 1, le problème admet une unique solution, $X=WY$ : $\boxed{a=\frac{y_{0}-2y_{1}+y_{2}}{2}, \qquad b=\frac{y_{2}-y_{0}}{2}, \qquad c=y_{1}}$

3. On obtient le tableau suivant :

\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline & x=-1 & x=0 & x=1 \\ \hline L_{0}(x) & 1 & 0 & 0 \\ \hline L_{1}(x) & 0 & 1 & 0 \\ \hline L_{2}(x) & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}

Le polynôme $Q=y_{0}L_{0}+y_{1}L_{1}+y_{2}L_{2}$ est de degré au plus $2$ et vérifie $Q(-1)=y_{0}$ , $Q(0)=y_{1}$ , $Q(1)=y_{2}$ . Par unicité (question 2), $\boxed{Q=P}$ . Chaque $L_{j}$ vaut $1$ en un point et $0$ aux deux autres, ce qui rend la formule immédiate.

Développons : $L_{0}(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x$ , $L_{1}(x)=-x^{2}+1$ , $L_{2}(x)=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x$ . Les coefficients $(a\,;b\,;c)$ de $L_{0}$ , $L_{1}$ , $L_{2}$ sont exactement les colonnes de $W$ . C'est logique : $L_{0}$ est le polynôme obtenu pour $Y=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}^{\!\top}$ , et $WY$ est alors la première colonne de $W$ .

4. $L_{0}(2)=\frac{2\times 1}{2}=1$ , $L_{1}(2)=1-4=-3$ et $L_{2}(2)=\frac{2\times 3}{2}=3$ , donc : $\boxed{P(2)=y_{0}-3y_{1}+3y_{2}}$ Avec $y_{0}=1$ , $y_{1}=4$ , $y_{2}=9$ , on trouve $P(2)=1-12+27=16$ . C'est cohérent : ces valeurs sont celles de $P(x)=(x+2)^{2}$ en $-1$ , $0$ , $1$ , et $(2+2)^{2}=16$ . La formule permet de « prolonger » une suite de trois valeurs par un polynôme de degré $2$ : on retrouve que la suite des carrés $1$ , $4$ , $9$ se poursuit par $16$ .

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Dans l'édifice

Déterminant d'une matrice carrée

Thèmes

matrice inverse, interpolation

Notions

inversible