Exercice 22 Symétries axiales quelconques

1. $S_{0}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ est la matrice de la symétrie d'axe des abscisses, et $S_{\frac{\pi}{2}}=\begin{pmatrix} \cos(\pi) & \sin(\pi) \\ \sin(\pi) & -\cos(\pi) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ celle de la symétrie d'axe des ordonnées. C'est cohérent : $\mathcal{D}_{0}$ est l'axe des abscisses et $\mathcal{D}_{\frac{\pi}{2}}$ celui des ordonnées.

2. On utilise $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$ et $\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$, avec $a=2\varphi$ et $b=\varphi$ : $$S_{\varphi}\begin{pmatrix} \cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(2\varphi)\cos(\varphi)+\sin(2\varphi)\sin(\varphi) \\ \sin(2\varphi)\cos(\varphi)-\cos(2\varphi)\sin(\varphi) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(2\varphi-\varphi) \\ \sin(2\varphi-\varphi) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}$$

$$S_{\varphi}\begin{pmatrix} -\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sin(2\varphi)\cos(\varphi)-\cos(2\varphi)\sin(\varphi) \\ -\cos(2\varphi)\cos(\varphi)-\sin(2\varphi)\sin(\varphi) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sin(\varphi) \\ -\cos(\varphi) \end{pmatrix} =-\begin{pmatrix} -\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \end{pmatrix}$$ Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est conservé, et le vecteur $\overrightarrow{v}$ est changé en son opposé.

3. Les coordonnées de $M$ forment la colonne $X=aU+bV$, où $U$ et $V$ sont les colonnes des coordonnées de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Par distributivité du produit matriciel et d'après la question 2 : $$S_{\varphi}X=aS_{\varphi}U+bS_{\varphi}V=aU-bV$$ L'image de $M$ est donc $O+a\overrightarrow{u}-b\overrightarrow{v}$. Comme $\overrightarrow{u}$ dirige $\mathcal{D}_{\varphi}$ et que $\overrightarrow{v}$ lui est orthogonal, on a gardé la « composante le long de la droite » et retourné la composante perpendiculaire : c'est exactement le symétrique de $M$ par rapport à $\mathcal{D}_{\varphi}$.

La droite $\mathcal{D}_{\varphi}$ fait l'angle $\varphi$ avec l'axe des abscisses. Le point $M'$ est le symétrique de $M$ : le segment $[MM']$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}_{\varphi}$ et coupé en son milieu par elle.

4. En utilisant $\cos^{2}+\sin^{2}=1$ : $$S_{\varphi}^{2}=\begin{pmatrix} \cos^{2}(2\varphi)+\sin^{2}(2\varphi) & \cos(2\varphi)\sin(2\varphi)-\sin(2\varphi)\cos(2\varphi) \\ \sin(2\varphi)\cos(2\varphi)-\cos(2\varphi)\sin(2\varphi) & \sin^{2}(2\varphi)+\cos^{2}(2\varphi) \end{pmatrix}=I_{2}$$ Appliquer deux fois la même symétrie ramène chaque point à sa place : une symétrie est sa propre inverse.

5. En notant $\alpha=2\varphi$ et $\beta=2\psi$ : $$S_{\varphi}S_{\psi}=\begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta & \cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta \\ \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta & \sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(\alpha-\beta) & -\sin(\alpha-\beta) \\ \sin(\alpha-\beta) & \cos(\alpha-\beta) \end{pmatrix}$$

$$\boxed{S_{\varphi}S_{\psi}=R\big(2(\varphi-\psi)\big)}$$ La composée de deux symétries d'axes passant par $O$ est une rotation de centre $O$, d'angle le double de l'angle entre les deux axes. L'exercice 11 en donnait un cas particulier : $S_{y}S_{x}=S_{\frac{\pi}{2}}S_{0}=R(\pi)$.

6. $S_{\frac{\pi}{4}}=\begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) & \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) & -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. L'axe $\mathcal{D}_{\frac{\pi}{4}}$ est la droite d'équation $y=x$, et $S_{\frac{\pi}{4}}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ : le symétrique de $M(x;y)$ par rapport à la droite $y=x$ est $M'(y;x)$. On échange simplement les coordonnées, ce qui explique que les courbes de $\exp$ et de $\ln$ soient symétriques par rapport à cette droite.