Exercice 20 Rotation de centre quelconque

1. Le produit donne $x'-1=-(y-2)$ et $y'-2=x-1$, soit : $$\boxed{\left\{\begin{array}{l} x'=-y+3 \\ y'=x+1 \end{array}\right.} \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$ La rotation $r$ s'obtient en appliquant la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$, puis la translation de vecteur $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$. Contrairement aux rotations de centre $O$, elle ne s'écrit pas avec une seule multiplication matricielle.

2. $x'=-2+3=1$ et $y'=4+1=5$, d'où $\boxed{A'(1\,;5)}$. On vérifie que $\Omega A=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=3$ et $\Omega A'=\sqrt{0^{2}+3^{2}}=3$.

Le vecteur $\overrightarrow{\Omega A'}$, en violet, est bien l'image du vecteur $\overrightarrow{\Omega A}$, en bleu ardoise, par un quart de tour direct, et $A$ et $A'$ sont sur le même cercle de centre $\Omega$.

3. $M$ est sa propre image si et seulement si $x=-y+3$ et $y=x+1$, c'est-à-dire : $$\left\{\begin{array}{l} x+y=3 \\ -x+y=1 \end{array}\right. \iff \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Le déterminant vaut $1\times 1-1\times(-1)=2\neq 0$ : d'après la Proposition 1, le système admet une unique solution. Comme $\Omega(1\,;2)$ convient ($1+2=3$ et $-1+2=1$), c'est la seule : $$\boxed{\Omega \text{ est l'unique point invariant par } r}$$

4. $R^{2}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=-I_{2}$, donc $R^{4}=(-I_{2})^{2}=I_{2}$. En appliquant quatre fois la relation de l'énoncé : $$\begin{pmatrix} x''''-1 \\ y''''-2 \end{pmatrix}=R^{4}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix}$$ Quatre quarts de tour ramènent chaque point à sa position de départ.