Exercice 6

On rappelle que le point d'affixe $re^{i\alpha}$, avec $r>0$, est situé sur le cercle de centre $O$ et de rayon $r$, dans la direction faisant un angle $\alpha$ avec l'axe des abscisses.

1. Ici le module est constant, égal à $3$, tandis que l'argument $\alpha$ parcourt tout l'intervalle $[0\,;2\pi[$ : le point $M$ décrit donc l'ensemble des points situés à la distance $3$ de l'origine, autrement dit : $$\boxed{\Gamma_1\text{ est le cercle de centre }O\text{ et de rayon }3}$$

2. Ici c'est l'inverse : l'argument est constant, égal à $\dfrac{\pi}{4}$, tandis que le module $r$ parcourt $[0\,;+\infty[$. Le point $M$ décrit donc : $$\boxed{\Gamma_2\text{ est la demi-droite d'origine }O\text{ dirigée par l'angle }\frac{\pi}{4}}$$ La valeur $r=0$ étant autorisée, l'origine $O$ appartient bien à $\Gamma_2$.

3. L'argument est de nouveau constant, mais $k$ peut cette fois être négatif. Or pour $k<0$, on a $k=-|k|$ et $-1=e^{i\pi}$, donc : $$ke^{-i\frac{\pi}{3}}=|k|\,e^{i\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}=|k|\,e^{i\frac{2\pi}{3}}$$ On obtient donc la demi-droite opposée à la précédente, ce qui donne : $$\boxed{\Gamma_3\text{ est la droite passant par }O\text{ dirigée par l'angle }-\frac{\pi}{3}}$$