Feuille d'exercicesMaths expertes, chapitre 8

Configurations géométriques

31 exercices corrigés · 8   13   7   3

Racines $n$-ièmes

• Exercice 1 Résoudre les équations suivantes: a) z^6=1 b) z^4=-1 c) z^5=-i
• Exercice 2 · Les racines huitièmes de l'unité On pose ω=e^i π/4. 1. Justifier que 𝕌_8= ω^k | k∈llbracket 0,7rrbracket, puis écrire ses huit éléments sous forme algébrique. 2. Calculer ω^2 et…
• Exercice 3 Résoudre les équations suivantes: a) z^3=1+i√3 b) z^6= (-3)/(1+i√3) c) z^5= ((1+i√3)^4)/((1+i)^2) d) (z-1)^5=(z+1)^5 e) ((z+1)/(z-1))^3+…
• Exercice 4 1. Déterminer, sous forme algébrique, les racines carrées du nombre complexe 3-4i. 2. Résoudre dans ℂ l'équation ω^2-iω-1+i=0 3. Rappeler quelles…
• Exercice 5 · Le nombre $j$ On pose j=e^i 2π/3. 1. Montrer que j^3=1, que 1+j+j^2=0 et que overline j=j^2= 1/j. 2. Montrer que 1+j=e^i π/3, puis calculer (1+j)^2026 en fonction…

Affixes, distances et ensembles de points

• Exercice 6 Déterminer et construire les ensembles Gamma _1, Gamma _2 et Gamma _3 des points dont l’affixe z vérifie la condition proposée: 1. z=3e^iα où…
• Exercice 7 A et B ont pour affixes respectives 1 et 3+2i. Déterminer puis construire les ensembles Gamma _1 et Gamma _2 des points M dont l’affixe z satisfait…
• Exercice 8 On considère les points A, B et C d'affixes respectives 1+2i, 4+3i et 5-i. 1. Calculer l'affixe du vecteur overrightarrow AB et la longueur AB. 2.…
• Exercice 9 Déterminer puis représenter dans un même repère les ensembles des points M d'affixe z tels que: 1. |z-2+i|=|z+1| 2. |z-i|≤ 2 3. |overline z+1-i|=3

Angles, alignement et nature de figures

• Exercice 10 Soient les points A(a), B(b) et C(c) tels que: a = 1 + 3/4 i, b = 2 - 5/4 i et c = 3 + 7/4 i. 1. Représenter les points A, B et C dans un repère…
• Exercice 11 Soit le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O;overrightarrow imath,overrightarrow jmath). Soient les points A(a), B(b) et C(c) tels…
• Exercice 12 On considère les points A(1+i), B(3+2i), C(7+4i), D(2-i), E(6+i) et G(3i). 1. Les points A, B et C sont-ils alignés ? 2. Les droites (AB) et (DE)…
• Exercice 13 · Nature d'un quadrilatère On considère les points A(1+i), B(4+2i), C(5+5i) et D(2+4i). 1. Montrer que ABCD est un parallélogramme. 2. Calculer (z_D-z_A)/(z_B-z_A). En déduire…
• Exercice 14 · Orthocentre d'un triangle On considère les points A(0), B(4) et C(1+3i). On rappelle que la hauteur issue de C est la droite passant par C et perpendiculaire à (AB). 1. À…

Problèmes de synthèse

• Exercice 15 Soit le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O;overrightarrow imath,overrightarrow jmath). Soient A, B et C les points d’affixes respectives…
• Exercice 16 Soit le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O;overrightarrow imath,overrightarrow jmath). Soit f l'application définie pour tout z∈…
• Exercice 17 Soit le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O;overrightarrow imath,overrightarrow jmath). On considère l'équation: (E): z^2-2z√3+4=0. 1.…
• Exercice 18 · Le cercle de Thalès On considère les points A et B d'affixes 1 et -1, et, pour z≠ -1, le nombre complexe Z= (z-1)/(z+1). 1. On pose z=x+iy avec x et y réels. Montrer…

Pour aller plus loin

• Exercice 19 a) Déterminer, en utilisant la forme trigonométrique, les nombres complexes z tels que z^2=i. b) Exprimer les racines carrées de 2i e^(-iπ/4) sous…
• Exercice 20 Déterminer l'ensemble des nombres complexes non nuls z tels que (1+z)/z soit réel. Quelle est l'image de cet ensemble ?
• Exercice 21 Quels sont les nombres complexes non nuls z tels que les points d'affixes i, z, 1/z soient alignés ?
• Exercice 22 Quels sont les nombres complexes z tels que le triangle dont les sommets ont pour affixes 1, i, z soit rectangle en z ?
• Exercice 23 a) Soit n∈ℕ^(). Calculer la somme des éléments de 𝕌_n. b) Soient n∈ℕ^() et p∈ℕ^(). Calculer la somme des puissances p -ièmes des éléments de 𝕌_n.
• Exercice 24 · Nombres complexes et théorème de la médiane a) Soient z et z' deux nombres complexes. Montrer: |z+z'|^2+|z-z'|^2=2 (|z|^2+|z'|^2). b) Donner une interprétation géométrique de cette égalité en…
• Exercice 25 · Point de concours des médianes Soient a, b, c trois nombres complexes, A, B, C leurs images dans le plan. On suppose que A, B, C ne sont pas alignés. Montrer que les médianes du…
• Exercice 26 Soient a, b, c trois nombres complexes distincts, A, B, C leurs images dans le plan. a) À quelle condition sur (c-a)/(b-a) le triangle ABC est-il…
• Exercice 27 Soit n un entier ≥ 3. On note P_n et A_n le périmètre et l'aire du polygone (régulier) dont les sommets sont les racines n -ièmes de 1. Donner une…
• Exercice 28 · Inégalité de Ptolémée a) Soient a, b, c, d quatre nombres complexes. Vérifier que (a-c)(b-d)=(b-a)(d-c)+(b-c)(a-d). b) Soient A, B, C, D quatre points du plan. Montrer…
• Exercice 29 Montrer que l'ensemble des nombres complexes non nuls z tels que |z+ 1/z |=2 a pour image la réunion de deux cercles que l'on précisera.
• Exercice 30 Soient m et n deux éléments de ℕ^(). À quelle condition a-t-on l'inclusion 𝕌_m⊂𝕌_n ?
• Exercice 31 · Droite d'Euler d'un triangle Soient, dans les questions a) à c), a, b, c trois éléments distincts de 𝕌, A, B, C leurs images. a) Quel est le centre du cercle circonscrit au…