Exercice 31 Droite d'Euler d'un triangle

a) $OA=|a|=1$, $OB=|b|=1$, $OC=|c|=1$ : le point $O$ est équidistant des trois sommets. $\boxed{\text{c'est le centre du cercle circonscrit}}$

b) Comme dans l'exercice 14, $M$ est sur la hauteur issue de $C$ si et seulement si $w=\frac{z-c}{b-a}$ est un imaginaire pur, éventuellement nul, c'est-à-dire si et seulement si $\overline{w}=-w$. Or $\overline{a}=\frac{1}{a}$, $\overline{b}=\frac{1}{b}$, $\overline{c}=\frac{1}{c}$, donc : $$\overline{b-a}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab}=-\frac{b-a}{ab} \qquad \text{et} \qquad \overline{w}=\frac{\overline{z}-\frac{1}{c}}{-\frac{b-a}{ab}}=-\frac{ab\left(\overline{z}-\frac{1}{c}\right)}{b-a}$$ Ainsi $\overline{w}=-w\iff ab\left(\overline{z}-\frac{1}{c}\right)=z-c\iff\boxed{\overline{z}=\frac{z}{ab}+\frac{1}{c}-\frac{c}{ab}}$.

c) Vérifions que $h=a+b+c$ satisfait cette relation : $$\frac{h}{ab}+\frac{1}{c}-\frac{c}{ab}=\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{h}$$ Le point $H(h)$ est donc sur la hauteur issue de $C$. L'expression $h=a+b+c$ étant symétrique en $a$, $b$, $c$, le même calcul, en échangeant les rôles des lettres, montre que $H$ est sur les hauteurs issues de $A$ et de $B$. $\boxed{\text{les trois hauteurs concourent en } H(a+b+c)}$

d) Soit $ABC$ un triangle quelconque, $O$ le centre de son cercle circonscrit et $R$ son rayon. On choisit le repère orthonormé d'origine $O$ et d'unité $R$ : les affixes $a$, $b$, $c$ des sommets sont alors de module $1$, et les questions précédentes s'appliquent. Le centre de gravité a pour affixe $g=\frac{a+b+c}{3}$ (exercice 25), et l'orthocentre $h=a+b+c$. Donc $h=3g$, c'est-à-dire : $$\boxed{\overrightarrow{OH}=3\,\overrightarrow{OG}}$$ Les points $O$, $G$ et $H$ sont alignés : lorsqu'ils sont distincts, la droite qui les porte est la droite d'Euler du triangle. Ils sont confondus lorsque $a+b+c=0$, par exemple pour le triangle équilatéral de sommets $1$, $j$, $j^{2}$ de l'exercice 5.