Exercice 30

Montrons que $\mathbb{U}_{m}\subset\mathbb{U}_{n}\iff m\mid n$.

• Si $m\mid n$, on écrit $n=mq$. Pour $z\in\mathbb{U}_{m}$, $z^{n}=\left(z^{m}\right)^{q}=1^{q}=1$, donc $z\in\mathbb{U}_{n}$.

• Si $\mathbb{U}_{m}\subset\mathbb{U}_{n}$, alors en particulier $e^{i\frac{2\pi}{m}}\in\mathbb{U}_{n}$, donc $e^{i\frac{2n\pi}{m}}=1$, c'est-à-dire $\frac{2n\pi}{m}\equiv 0\;[2\pi]$ : il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $\frac{n}{m}=k$, donc $m\mid n$.

$$\boxed{\mathbb{U}_{m}\subset\mathbb{U}_{n}\iff m \text{ divise } n}$$ Par exemple $\mathbb{U}_{3}\subset\mathbb{U}_{6}$ : les sommets du triangle équilatéral $1$, $j$, $j^{2}$ sont des sommets de l'hexagone régulier. En revanche $\mathbb{U}_{4}\not\subset\mathbb{U}_{6}$, puisque $i^{6}=-1$.