Exercice 10

1. Les points ont pour coordonnées $A\left(1\,;\dfrac{3}{4}\right)$, $B\left(2\,;-\dfrac{5}{4}\right)$ et $C\left(3\,;\dfrac{7}{4}\right)$, ce qui donne, avec le point $A'$ de la question 3. :

2. On calcule les affixes des vecteurs, puis leurs modules : $$\begin{aligned} b-a &= 2-\frac{5}{4}i-1-\frac{3}{4}i=1-2i & &\text{d'où } AB=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\\ c-a &= 3+\frac{7}{4}i-1-\frac{3}{4}i=2+i & &\text{d'où } AC=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\\ c-b &= 3+\frac{7}{4}i-2+\frac{5}{4}i=1+3i & &\text{d'où } BC=\sqrt{1+9}=\sqrt{10} \end{aligned}$$ On constate ainsi que $AB=AC$, et de plus : $$AB^2+AC^2=5+5=10=BC^2$$ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est donc rectangle en $A$ : $$\boxed{ABC\text{ est un triangle rectangle isocèle en }A}$$ On peut aussi le justifier directement par un quotient : $$\frac{c-a}{b-a}=\frac{2+i}{1-2i}=\frac{(2+i)(1+2i)}{1^2+2^2}=\frac{2+4i+i-2}{5}=i$$ Ce quotient a pour module $1$ (donc $AC=AB$) et pour argument $\dfrac{\pi}{2}$ (donc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{2}$).

3. Le quadrilatère $ABA'C$ est un carré si et seulement si c'est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont perpendiculaires et de même longueur, ce qui est déjà acquis d'après la question 2. Il suffit donc d'écrire que $ABA'C$ est un parallélogramme, c'est-à-dire $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA'}$ : $$b-a=a'-c \iff a'=b+c-a$$ On calcule alors : $$a'=\left(2-\frac{5}{4}i\right)+\left(3+\frac{7}{4}i\right)-\left(1+\frac{3}{4}i\right) =(2+3-1)+\left(-\frac{5}{4}+\frac{7}{4}-\frac{3}{4}\right)i$$