Exercice 9

1. On note $P(2-i)$ et $Q(-1)$ : l'égalité s'écrit $PM=QM$, donc l'ensemble est la médiatrice de $[PQ]$. En élevant au carré avec $z=x+iy$ : $$(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=(x+1)^{2}+y^{2} \iff -4x+4+2y+1=2x+1 \iff \boxed{y=3x-2}$$

2. $|z-i|\leqslant 2$ signifie que la distance de $M$ au point $K(i)$ est au plus $2$ : c'est le disque fermé de centre $K$ et de rayon $2$.

3. Attention au conjugué. Un nombre complexe et son conjugué ont le même module, et $\overline{\overline{z}+1-i}=z+1+i$, donc : $$|\overline{z}+1-i|=3 \iff |z+1+i|=3 \iff |z-(-1-i)|=3$$ C'est le cercle de centre $L(-1-i)$ et de rayon $3$, et non le cercle de centre $-1+i$ que l'on obtiendrait en oubliant le conjugué.

La médiatrice de $[PQ]$ est en bleu ardoise, le disque de centre $K$ en ocre, le cercle de centre $L$ en violet. On vérifie sur la figure que la droite bleu ardoise coupe bien le segment $[PQ]$ en son milieu, à angle droit.