Exercice 8

1. $z_{\overrightarrow{AB}}=z_{B}-z_{A}=4+3i-1-2i=\boxed{3+i}$ et $AB=|3+i|=\boxed{\sqrt{10}}$.

2. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, c'est-à-dire $z_{B}-z_{A}=z_{C}-z_{D}$ : $$z_{D}=z_{C}-z_{B}+z_{A}=5-i-4-3i+1+2i=\boxed{2-2i}$$ L'erreur la plus répandue est d'écrire $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ : on obtiendrait alors le parallélogramme $ABDC$, dont les sommets ne sont pas dans le bon ordre.

3. Le centre $I$ est le milieu des deux diagonales : $$z_{I}=\frac{z_{A}+z_{C}}{2}=\frac{6+i}{2}=3+\frac{1}{2}i \qquad \text{et} \qquad \frac{z_{B}+z_{D}}{2}=\frac{6+i}{2}=3+\frac{1}{2}i$$ Les deux calculs coïncident, ce qui confirme que les diagonales ont le même milieu. $\boxed{z_{I}=3+\tfrac{1}{2}i}$

4. Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont la même longueur. Or $AC=|4-3i|=5$ et $BD=|-2-5i|=\sqrt{29}$. $\boxed{ABCD \text{ n'est pas un rectangle}}$