Exercice 11

On calcule les affixes des trois vecteurs du triangle, puis leurs modules : $$\begin{aligned} b-a &= -3-6i+2-2i=-1-8i & &\text{d'où } AB=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}\\ c-a &= 1+2-2i=3-2i & &\text{d'où } AC=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ c-b &= 1+3+6i=4+6i & &\text{d'où } BC=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13} \end{aligned}$$ Les trois longueurs étant deux à deux différentes, le triangle n'est pas isocèle. En revanche : $$AC^2+BC^2=13+52=65=AB^2$$ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit donc que : $$\boxed{ABC\text{ est un triangle rectangle en }C}$$ On peut également le vérifier à l'aide du quotient : $$\frac{b-c}{a-c}=\frac{-4-6i}{-3+2i}=\frac{(-4-6i)(-3-2i)}{3^2+2^2}=\frac{12+8i+18i-12}{13}=2i$$ Ce quotient est un imaginaire pur, son argument vaut donc $\dfrac{\pi}{2}$, ce qui confirme que l'angle en $C$ est droit. Son module valant $2$, on obtient de plus $CB=2\,CA$.