Exercice 12

On utilise la Proposition 8 du cours, en calculant à chaque fois un quotient.

1. $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=\dfrac{6+3i}{2+i}=3\in\mathbb{R}$. $\boxed{A, B, C \text{ sont alignés}}$ On a même $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$.

2. $\dfrac{z_{E}-z_{D}}{z_{B}-z_{A}}=\dfrac{4+2i}{2+i}=2\in\mathbb{R}$ : $\boxed{(AB)\parallel(DE)}$. Pour savoir si elles sont confondues, on teste si $D$ appartient à $(AB)$ : $$\frac{z_{D}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=\frac{1-2i}{2+i}=\frac{(1-2i)(2-i)}{5}=\frac{2-i-4i-2}{5}=-i\notin\mathbb{R}$$ $D\notin(AB)$ : les droites sont strictement parallèles.

3. $\dfrac{z_{G}-z_{D}}{z_{B}-z_{A}}=\dfrac{-2+4i}{2+i}=\dfrac{(-2+4i)(2-i)}{5}=\dfrac{-4+2i+8i+4}{5}=2i\in i\mathbb{R}$. $\boxed{(AB)\perp(DG)}$

Le calcul de la question 2 montre aussi que $(AD)\perp(AB)$ et $AD=AB$, puisque le quotient vaut $-i$.