Exercice 13 Nature d'un quadrilatère

1. $z_{B}-z_{A}=3+i$ et $z_{C}-z_{D}=3+i$ : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, donc $\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme}}$.

2. $$\frac{z_{D}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=\frac{1+3i}{3+i}=\frac{(1+3i)(3-i)}{10}=\frac{3-i+9i+3}{10}=\boxed{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i}$$ Son module vaut $\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=1$, donc $AD=AB$ : le parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux, c'est un losange. Ce quotient n'est pas un imaginaire pur, donc $(AB)$ et $(AD)$ ne sont pas perpendiculaires : ce n'est pas un carré.

3. $$\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{B}}=\frac{4+4i}{-2+2i}=\frac{(4+4i)(-2-2i)}{8}=\frac{-8-8i-8i+8}{8}=-2i\in i\mathbb{R}$$ Les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires, comme dans tout losange, et $AC=2BD$.

4. D'après la Proposition 7, $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\arg\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)$. C'est l'angle $\theta\in\left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$ tel que $\cos(\theta)=\frac{3}{5}$ et $\sin(\theta)=\frac{4}{5}$ : $$\boxed{\theta\approx 0{,}927 \text{ rad} \approx 53{,}1^{\circ}}$$

Le losange $ABCD$ est en bleu ardoise. Ses diagonales, en pointillés violets, se coupent à angle droit en leur milieu, le point d'affixe $3+3i$.