Exercice 14 Orthocentre d'un triangle

1. Si $M\neq C$, $M$ est sur la hauteur issue de $C$ si et seulement si $(CM)\perp(AB)$, c'est-à-dire, d'après la Proposition 8, $\frac{z-z_{C}}{z_{B}-z_{A}}\in i\mathbb{R}$. Le point $C$ lui-même donne le quotient $0$. D'où l'équivalence annoncée. Avec $z=x+iy$ : $$\frac{z-z_{C}}{z_{B}-z_{A}}=\frac{(x-1)+i(y-3)}{4} \in i\mathbb{R} \iff x-1=0 \qquad \boxed{\text{hauteur issue de } C : x=1}$$ C'est cohérent : $(AB)$ est l'axe des abscisses, et la hauteur est la verticale passant par $C$.

2. $M(z)$ est sur la hauteur issue de $A$ si et seulement si $\frac{z-z_{A}}{z_{C}-z_{B}}=\frac{x+iy}{-3+3i}\in i\mathbb{R}$. On multiplie par le conjugué du dénominateur : $$\frac{(x+iy)(-3-3i)}{18}=\frac{(-3x+3y)+i(-3x-3y)}{18}$$ La partie réelle est nulle si et seulement si $y=x$ : $\boxed{\text{hauteur issue de } A : y=x}$. L'intersection avec $x=1$ donne $\boxed{z_{H}=1+i}$.

3. $\dfrac{z_{H}-z_{B}}{z_{C}-z_{A}}=\dfrac{-3+i}{1+3i}=\dfrac{(-3+i)(1-3i)}{10}=\dfrac{-3+9i+i+3}{10}=i\in i\mathbb{R}$, donc $(BH)\perp(AC)$ : $H$ est aussi sur la hauteur issue de $B$. Les trois hauteurs sont concourantes en $H$, appelé orthocentre du triangle. L'exercice 31 démontre ce résultat pour un triangle quelconque.

Les trois hauteurs, en ocre, passent toutes par le point violet $H(1+i)$. La hauteur issue de $B$ coupe $(AC)$ au point d'affixe $0{,}4+1{,}2i$.