Exercice 15

1. Les points ont pour coordonnées $A(2\,;-3)$, $B(0\,;1)$ et $C(6\,;-1)$. On y ajoute les points $D(1\,;-1)$, $D'(0\,;-1)$ et $E(-2\,;5)$ obtenus aux questions 3. et 4. :

2. (a) On calcule le quotient demandé : $$\begin{aligned} \frac{z_B-z_A}{z_C-z_A} &= \frac{i-(2-3i)}{6-i-(2-3i)}\\ &= \frac{-2+4i}{4+2i}\\ &= \frac{(-2+4i)(4-2i)}{4^2+2^2}\\ &= \frac{-8+4i+16i+8}{20}=\frac{20i}{20} \end{aligned}$$

(b) Ce quotient a pour module $1$ et pour argument $\dfrac{\pi}{2}$, or : $$\left|\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right|=\frac{AB}{AC} \qquad\text{et}\qquad \arg\left(\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)\ [2\pi]$$ On en déduit donc que $AB=AC$ et que l'angle en $A$ est droit : $$\boxed{ABC\text{ est un triangle rectangle isocèle en }A}$$

3. On applique $f$ à l'affixe $z_D=1-i$, qui est bien différente de $i$ : $$\begin{aligned} z_{D'}=f(1-i) &= \frac{i\left(1-i-2+3i\right)}{1-i-i}\\ &= \frac{i(-1+2i)}{1-2i}\\ &= \frac{-i-2}{1-2i}=\frac{(-2-i)(1+2i)}{1^2+2^2}\\ &= \frac{-2-4i-i+2}{5}=\frac{-5i}{5} \end{aligned}$$

4. (a) On cherche les antécédents de $2i$ par $f$, autrement dit les complexes $z\neq i$ tels que : $$\begin{aligned} \frac{i(z-2+3i)}{z-i}=2i &\iff i(z-2+3i)=2i(z-i)\\ &\iff z-2+3i=2(z-i) \qquad\text{(en divisant par }i\neq 0)\\ &\iff z-2+3i=2z-2i\\ &\iff -z=2-5i \end{aligned}$$ Cette équation admet une unique solution, différente de $i$, ce qui prouve l'existence et l'unicité du point $E$ : $$\boxed{z_E=-2+5i}$$

(b) On calcule les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AE}$ : $$z_B-z_A=i-2+3i=-2+4i \qquad\text{et}\qquad z_E-z_A=-2+5i-2+3i=-4+8i$$ On constate alors que $z_E-z_A=2\left(z_B-z_A\right)$, autrement dit $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont colinéaires, d'où : $$\boxed{E\text{ appartient à la droite }(AB)}$$

5. Soit $M(z)$ un point distinct de $B$, c'est-à-dire tel que $z\neq i$. On remarque que $z-2+3i=z-z_A$ et $z-i=z-z_B$, ce qui permet d'écrire : $$z'=\frac{i\left(z-z_A\right)}{z-z_B}$$ On passe alors au module, en utilisant que le module d'un quotient est le quotient des modules et que $|i|=1$ : $$OM'=\left|z'\right|=\frac{|i|\times\left|z-z_A\right|}{\left|z-z_B\right|} =\frac{\left|z-z_A\right|}{\left|z-z_B\right|}$$

6. Soit $M$ un point distinct de $A$ et de $B$ : le complexe $z'$ est alors non nul, et son argument est bien défini. On utilise les propriétés de l'argument d'un produit et d'un quotient : $$\begin{aligned} \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{OM'}\right) &\equiv \arg\left(z'\right)\\ &\equiv \arg(i)+\arg\left(z-z_A\right)-\arg\left(z-z_B\right)\\ &\equiv \frac{\pi}{2}+\left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{AM}\right)-\left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{BM}\right) \ [2\pi] \end{aligned}$$ Or d'après la relation de Chasles sur les angles orientés : $$\left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{AM}\right)-\left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{BM}\right) =\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{\imath}\right)+\left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{AM}\right) =\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM}\right) \ [2\pi]$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{OM'}\right)\equiv\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM}\right)+\frac{\pi}{2}\ [2\pi]}$$

7. Supposons que $M$ appartienne à la médiatrice du segment $[AB]$. Par définition de la médiatrice, on a alors $AM=BM$, et comme $M\neq B$, la question 5. donne : $$OM'=\frac{AM}{BM}=1$$ La distance de $M'$ à l'origine est donc constante égale à $1$ : $$\boxed{M'\text{ appartient au cercle de centre }O\text{ et de rayon }1}$$

8. Supposons que $M'$ appartienne à l'axe des imaginaires purs. Le nombre $z'$ est alors un imaginaire pur, autrement dit $\dfrac{z'}{i}$ est un réel. Or d'après la question 5. : $$\frac{z'}{i}=\frac{z-z_A}{z-z_B}$$ Ce quotient est donc réel, ce qui signifie que les vecteurs $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires (son argument vaut $0$ ou $\pi$), autrement dit que les points $A$, $B$ et $M$ sont alignés : $$\boxed{M\text{ appartient à la droite }(AB)}$$ On peut aussi conclure avec la question 6. : $z'$ imaginaire pur signifie $$\left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{OM'}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [\pi] \quad\text{donc}\quad \left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM}\right)\equiv 0\ [\pi]$$ ce qui traduit bien l'alignement de $A$, $B$ et $M$.