Exercice 16

1. Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels. On a alors : $$f(z)=\frac{z-2+i}{z+2i}=\frac{(x-2)+i(y+1)}{x+i(y+2)}$$ On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$\begin{aligned} f(z) &= \frac{\big((x-2)+i(y+1)\big)\big(x-i(y+2)\big)}{x^2+(y+2)^2}\\ &= \frac{x(x-2)+(y+1)(y+2)+i\big(x(y+1)-(x-2)(y+2)\big)}{x^2+(y+2)^2} \end{aligned}$$ On développe alors séparément les deux parenthèses du numérateur : $$\begin{aligned} x(x-2)+(y+1)(y+2) &= x^2-2x+y^2+3y+2\\ x(y+1)-(x-2)(y+2) &= xy+x-\left(xy+2x-2y-4\right)=-x+2y+4 \end{aligned}$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{R}e\big[f(z)\big]=\frac{x^2+y^2-2x+3y+2}{x^2+(y+2)^2} \qquad\text{et}\qquad \mathcal{I}m\big[f(z)\big]=\frac{-x+2y+4}{x^2+(y+2)^2}}$$

2. Dans les deux cas, le dénominateur $x^2+(y+2)^2$ est strictement positif, puisque $z\neq -2i$ : seul le numérateur intervient.

(a) Le nombre $f(z)$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle : $$\mathcal{I}m\big[f(z)\big]=0 \iff -x+2y+4=0 \iff x=2y+4$$ On reconnaît une équation de droite : $$\boxed{E\text{ est la droite d'équation }x-2y-4=0\text{, privée du point }A(0\,;-2)}$$ Le point $A$ d'affixe $-2i$ appartient en effet à cette droite, mais est exclu du domaine de $f$.

(b) Le nombre $f(z)$ est un imaginaire pur (éventuellement nul) si et seulement si sa partie réelle est nulle : $$\mathcal{R}e\big[f(z)\big]=0 \iff x^2+y^2-2x+3y+2=0$$ On reconnaît le début de deux identités remarquables, que l'on complète : $$\begin{aligned} x^2-2x+y^2+3y+2=0 &\iff (x-1)^2-1+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+2=0\\ &\iff (x-1)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{4} \end{aligned}$$ On reconnaît l'équation d'un cercle : $$\boxed{F\text{ est le cercle de centre }\Omega\left(1\,;-\frac{3}{2}\right)\text{ et de rayon } \frac{\sqrt{5}}{2}\text{, privé du point }A(0\,;-2)}$$

(c) On obtient la figure suivante :

Le point $A$, exclu des deux ensembles, est représenté par un cercle évidé : on constate qu'il s'agit bien du point d'intersection de la droite $E$ et du cercle $F$.