Exercice 17

1. On calcule le discriminant de $(E)$ : $$\Delta=\left(-2\sqrt{3}\right)^2-4\times 1\times 4=12-16=-4<0$$ Comme $\Delta<0$, on a $\sqrt{-\Delta}=2$ et les deux solutions sont : $$z=\frac{2\sqrt{3}\pm 2i}{2}=\sqrt{3}\pm i$$

2. (a) Pour $n=1$, on a $(-1)^1=-1$, donc : $$z_1=2\,e^{-i\frac{\pi}{6}}=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) =2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)=\sqrt{3}-i$$ On reconnaît l'une des deux solutions trouvées à la question 1. : $$\boxed{z_1\text{ est bien une solution de }(E)}$$

(b) Pour $n=2$, on a $(-1)^2=1$, et pour $n=3$, $(-1)^3=-1$, ce qui donne : $$z_2=4\,e^{i\frac{\pi}{6}}=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\right) \qquad ; \qquad z_3=8\,e^{-i\frac{\pi}{6}}=8\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)$$

(c) On calcule enfin $z_4=16\,e^{i\frac{\pi}{6}}=8\sqrt{3}+8i$, ce qui permet de placer les quatre points, d'abscisses approchées $1{,}73$ ; $3{,}46$ ; $6{,}93$ et $13{,}86$ :

3. Soit $n\geqslant 1$. On passe de la forme exponentielle à la forme algébrique : $$z_n=2^n\,e^{i(-1)^n\frac{\pi}{6}} =2^n\left(\cos\left((-1)^n\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left((-1)^n\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ Or la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire, et $(-1)^n$ vaut $1$ ou $-1$, ainsi : $$\cos\left((-1)^n\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad\text{et}\qquad \sin\left((-1)^n\frac{\pi}{6}\right)=(-1)^n\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{(-1)^n}{2}$$ On en déduit donc que pour tout entier $n\geqslant 1$ : $$\boxed{z_n=2^n\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{(-1)^ni}{2}\right)}$$

4. On utilise la relation $M_nM_{n+1}=\left|z_{n+1}-z_n\right|$ : $$\begin{aligned} M_1M_2 &= \left|z_2-z_1\right|=\left|2\sqrt{3}+2i-\sqrt{3}+i\right|=\left|\sqrt{3}+3i\right| =\sqrt{3+9}=\sqrt{12}\\ M_2M_3 &= \left|z_3-z_2\right|=\left|4\sqrt{3}-4i-2\sqrt{3}-2i\right|=\left|2\sqrt{3}-6i\right| =\sqrt{12+36}=\sqrt{48} \end{aligned}$$

$$\boxed{M_1M_2=2\sqrt{3} \qquad\text{et}\qquad M_2M_3=4\sqrt{3}}$$ Ces deux valeurs sont bien conformes à la formule admise $M_nM_{n+1}=2^n\sqrt{3}$, pour $n=1$ et $n=2$.

5. (a) Soit $n\geqslant 1$. D'après la formule admise, $l_n$ est la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $2\sqrt{3}$ : $$\begin{aligned} l_n &= \sum_{k=1}^{n}M_kM_{k+1}=\sum_{k=1}^{n}2^k\sqrt{3}\\ &= \sqrt{3}\left(2^1+2^2+\dots+2^n\right)\\ &= \sqrt{3}\times 2\times\frac{1-2^n}{1-2} \end{aligned}$$ On en déduit donc que pour tout entier $n\geqslant 1$ : $$\boxed{l_n=2\sqrt{3}\left(2^n-1\right)}$$

(b) On résout l'inéquation : $$\begin{aligned} l_n>1000 &\iff 2\sqrt{3}\left(2^n-1\right)>1000\\ &\iff 2^n-1>\frac{500}{\sqrt{3}}\\ &\iff 2^n>\frac{500\sqrt{3}}{3}+1\approx 289{,}7 \end{aligned}$$ Or les puissances de $2$ successives valent $2^8=256$ et $2^9=512$, et la suite $\left(2^n\right)$ est strictement croissante. On en déduit donc que le plus petit entier cherché est : $$\boxed{n=9}$$ On peut le vérifier : $l_8=2\sqrt{3}\times 255=510\sqrt{3}\approx 883$, tandis que $l_9=2\sqrt{3}\times 511=1022\sqrt{3}\approx 1770$.