Exercice 18 Le cercle de Thalès

1. On multiplie par le conjugué du dénominateur, $\overline{z+1}=(x+1)-iy$ : $$Z=\frac{\big((x-1)+iy\big)\big((x+1)-iy\big)}{(x+1)^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}-1+y^{2}+i\big(y(x+1)-y(x-1)\big)}{(x+1)^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}-1+2iy}{(x+1)^{2}+y^{2}}$$

2. $Z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : $x^{2}+y^{2}=1$. $$\boxed{\mathcal{E} \text{ est le cercle unité, privé du point } B(-1)}$$

3. D'après la Proposition 7, pour $M$ distinct de $A$ et $B$ : $$\arg(Z)=\arg\left(\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}}\right)=\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM}\right)\;[2\pi]$$ $Z\in i\mathbb{R}^{*}$ signifie donc que $(MA)\perp(MB)$ : le triangle $AMB$ est rectangle en $M$. On retrouve le théorème de Thalès sur le cercle : $AMB$ est rectangle en $M$ si et seulement si $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$, privé de $A$ et $B$. Ici, ce cercle est le cercle unité.

4. $\arg(Z)\equiv\frac{\pi}{2}\;[2\pi]$ signifie que $Z$ est un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive : $x^{2}+y^{2}=1$ et $y>0$. $$\boxed{\mathcal{F} \text{ est le demi-cercle unité supérieur, extrémités } A \text{ et } B \text{ exclues}}$$

L'ensemble $\mathcal{E}$ est tout le cercle bleu ardoise, sauf le point $B$ dessiné évidé ; le point $A$ en fait partie, car il donne $Z=0$. L'ensemble $\mathcal{F}$ est l'arc violet, sans ses extrémités. Pour un point $M$ de l'arc violet, l'angle $\widehat{AMB}$ est droit, comme le montre le triangle ocre.