Exercice 2 Les racines huitièmes de l'unité

1. Pour $k\in\llbracket 0,7\rrbracket$, $\omega^{k}=e^{i\frac{k\pi}{4}}=e^{i\frac{2k\pi}{8}}$ : ce sont exactement les éléments de $\mathbb{U}_{8}$ décrits par la Proposition 2. En utilisant les valeurs remarquables de $\cos$ et $\sin$ : $$\mathbb{U}_{8}=\left\{1\;;\;\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\;i\;;\;-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\;-1\;;\;-\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\;-i\;;\;\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right\}$$

2. $\omega^{2}=e^{i\frac{\pi}{2}}=i$ et $\omega^{4}=e^{i\pi}=-1$. Ainsi $\omega^{k+4}=\omega^{k}\omega^{4}=-\omega^{k}$ : les éléments de $\mathbb{U}_{8}$ se regroupent en quatre paires d'opposés, $\left(\omega^{0},\omega^{4}\right)$, $\left(\omega^{1},\omega^{5}\right)$, $\left(\omega^{2},\omega^{6}\right)$ et $\left(\omega^{3},\omega^{7}\right)$. Chaque paire a une somme nulle : $$\sum_{k=0}^{7}\omega^{k}=\sum_{k=0}^{3}\left(\omega^{k}+\omega^{k+4}\right)=\sum_{k=0}^{3}0=\boxed{0}$$ C'est le résultat de la Proposition 2, retrouvé ici par symétrie : l'octogone est symétrique par rapport à $O$.

3. Le côté a pour longueur $|\omega-1|$ : $$|\omega-1|^{2}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-1\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{2}-\sqrt{2}+1+\tfrac{1}{2}=2-\sqrt{2} \qquad \boxed{|\omega-1|=\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx 0{,}765}$$

Les huit racines, en violet, sont régulièrement réparties sur le cercle unité : on passe de l'une à la suivante par un huitième de tour, ce qui revient à multiplier par $\omega$ (chapitre 5).