Exercice 1

On utilise la méthode du cours pour résoudre $z^n=a$ : si $a=\rho e^{i\varphi}$ est un complexe non nul et $n\in\mathbb{N}^*$, alors l'équation $z^n=a$ admet exactement $n$ solutions, données par : $$z_k=\rho^{\frac{1}{n}}\,e^{i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)} \qquad\text{avec}\qquad k\in\{0\,;1\,;\dots\,;n-1\}$$

a) On a $1=e^{i0}$, donc $\rho=1$ et $\varphi=0$. Les six solutions sont les racines $6$-ièmes de l'unité : $$z_k=e^{i\frac{2k\pi}{6}}=e^{i\frac{k\pi}{3}} \qquad\text{avec}\qquad k\in\{0\,;1\,;2\,;3\,;4\,;5\}$$ Autrement dit, sous forme algébrique : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{1\;;\;\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\;;\;-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \;;\;-1\;;\;-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\;;\;\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}}$$

b) On a $-1=e^{i\pi}$, donc $\rho=1$ et $\varphi=\pi$. Les quatre solutions sont : $$z_k=e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)} \qquad\text{avec}\qquad k\in\{0\,;1\,;2\,;3\}$$ Autrement dit : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{e^{i\frac{\pi}{4}}\;;\;e^{i\frac{3\pi}{4}}\;;\;e^{i\frac{5\pi}{4}}\;;\;e^{i\frac{7\pi}{4}}\right\} =\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}(\pm 1\pm i)\right\}}$$

c) On a $-i=e^{-i\frac{\pi}{2}}$, donc $\rho=1$ et $\varphi=-\dfrac{\pi}{2}$. Les cinq solutions sont : $$z_k=e^{i\left(-\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}\right)} \qquad\text{avec}\qquad k\in\{0\,;1\,;2\,;3\,;4\}$$ Autrement dit : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{e^{-i\frac{\pi}{10}}\;;\;e^{i\frac{3\pi}{10}}\;;\;e^{i\frac{7\pi}{10}} \;;\;e^{i\frac{11\pi}{10}}\;;\;e^{i\frac{3\pi}{2}}\right\}}$$ On remarque en particulier que $-i$ est bien lui-même solution, ce qui correspond à $k=4$.