Exercice 5 Le nombre $j$

1. $j^{3}=e^{i2\pi}=1$. D'après la Proposition 2 avec $n=3$, la somme des éléments de $\mathbb{U}_{3}=\{1,j,j^{2}\}$ est nulle : $1+j+j^{2}=0$. Enfin, $\overline{j}=e^{-i\frac{2\pi}{3}}$, et $j^{2}=e^{i\frac{4\pi}{3}}=e^{i\left(\frac{4\pi}{3}-2\pi\right)}=e^{-i\frac{2\pi}{3}}$. Comme $j\in\mathbb{U}$, $\frac{1}{j}=\overline{j}$. $$\boxed{j^{3}=1 \qquad 1+j+j^{2}=0 \qquad \overline{j}=j^{2}=\frac{1}{j}}$$

2. D'après la question 1, $1+j=-j^{2}=e^{i\pi}e^{-i\frac{2\pi}{3}}=e^{i\frac{\pi}{3}}$. Comme $2026=6\times 337+4$ : $$(1+j)^{2026}=e^{i\frac{2026\pi}{3}}=e^{i\left(674\pi+\frac{4\pi}{3}\right)}=e^{i\frac{4\pi}{3}}=\boxed{j^{2}}$$

3. $AB=|j-1|$, $BC=|j^{2}-j|=|j|\times|j-1|=|j-1|$ et $CA=|1-j^{2}|=|\overline{1-j}|=|1-j|$. Les trois côtés ont la même longueur : $$|j-1|=\left|-\tfrac{3}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{3} \qquad \boxed{ABC \text{ est équilatéral de côté } \sqrt{3}}$$ Les trois sommets sont sur le cercle unité : le centre du cercle circonscrit est $O$. On remarque que $O$ est aussi le centre de gravité, puisque $\frac{1+j+j^{2}}{3}=0$ (voir l'exercice 25).