Exercice 4

1. On cherche les complexes $\delta=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels, tels que $\delta^2=3-4i$. On traduit cette égalité par un système, en identifiant les parties réelles et imaginaires, et en ajoutant l'égalité des modules : $$\delta^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy \qquad\text{et}\qquad |\delta|^2=x^2+y^2=|3-4i|=\sqrt{9+16}=5$$ Ce qui donne le système : $$\left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=3\\ 2xy=-4\\ x^2+y^2=5\end{array}\right.$$ En additionnant puis en soustrayant les première et troisième équations, on obtient $2x^2=8$ et $2y^2=2$, autrement dit $x=\pm 2$ et $y=\pm 1$. La deuxième équation impose enfin que $x$ et $y$ soient de signes contraires, d'où : $$\boxed{\delta\in\{2-i\;;\;-2+i\}}$$

2. On calcule le discriminant de l'équation $\omega^2-i\omega-1+i=0$ : $$\Delta=(-i)^2-4\times 1\times(-1+i)=-1+4-4i=3-4i$$ D'après la question précédente, les racines carrées de $\Delta$ sont $\pm(2-i)$. Les deux solutions sont donc : $$\omega_1=\frac{i-(2-i)}{2}=\frac{-2+2i}{2}=-1+i \qquad\text{et}\qquad \omega_2=\frac{i+(2-i)}{2}=\frac{2}{2}=1$$

3. Les racines cubiques de $1$ sont les solutions de $z^3=1$, c'est-à-dire : $$\boxed{1\;;\;j=e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\;;\; j^2=e^{-i\frac{2\pi}{3}}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

4. Le module de $-1+i$ vaut $\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ et $-1+i=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$, où on reconnaît le cosinus et le sinus de $\dfrac{3\pi}{4}$, d'où : $$\boxed{-1+i=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}}$$

5. D'après la question précédente, l'équation s'écrit $z^3=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}$, dont les trois solutions sont, en remarquant que $\sqrt[3]{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{6}}$ : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{\sqrt[6]{2}\,e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{3}\right)} \;,\; k\in\{0\,;1\,;2\}\right\} =\left\{\sqrt[6]{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\;;\;\sqrt[6]{2}\,e^{i\frac{11\pi}{12}}\;;\;\sqrt[6]{2}\,e^{i\frac{19\pi}{12}}\right\}}$$

6. On reconnaît l'équation de la question 2. en posant $\omega=z^3$ : $$z^6-iz^3-1+i=0 \iff \omega^2-i\omega-1+i=0 \iff \omega=1 \;\text{ ou }\; \omega=-1+i$$ Il reste alors à revenir à $z$ : le cas $z^3=1$ a été traité à la question 3., et le cas $z^3=-1+i$ à la question 5. On en déduit donc les six solutions : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{1\;;\;e^{i\frac{2\pi}{3}}\;;\;e^{-i\frac{2\pi}{3}}\;;\; \sqrt[6]{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\;;\;\sqrt[6]{2}\,e^{i\frac{11\pi}{12}}\;;\;\sqrt[6]{2}\,e^{i\frac{19\pi}{12}}\right\}}$$