Exercice 22

Le triangle doit avoir trois sommets distincts : $z\neq 1$ et $z\neq i$. Il est rectangle en $z$ si et seulement si $\frac{1-z}{i-z}\in i\mathbb{R}$ (Proposition 8), c'est-à-dire si la partie réelle de $(1-z)\overline{(i-z)}$ est nulle. Avec $z=x+iy$ : $$(1-z)\overline{(i-z)}=\big((1-x)-iy\big)\big(-x-i(1-y)\big)$$ dont la partie réelle vaut $-x(1-x)-y(1-y)=x^{2}-x+y^{2}-y$. Elle est nulle si et seulement si : $$\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{2}$$

$$\boxed{z \text{ décrit le cercle de centre } \tfrac{1+i}{2} \text{ et de rayon } \tfrac{\sqrt{2}}{2}, \text{ privé des points } 1 \text{ et } i}$$ C'est le cercle de diamètre $[AB]$, avec $A(1)$ et $B(i)$ : on retrouve le résultat de l'exercice 18.