Exercice 21

Si $z=i$, deux des trois points sont confondus : ils sont alignés. Supposons $z\neq i$, et notons $A(i)$, $M(z)$, $N\left(\frac{1}{z}\right)$. D'après la Proposition 8, ils sont alignés si et seulement si $\dfrac{\frac{1}{z}-i}{z-i}$ est réel, ce qui revient à dire que $\left(\frac{1}{z}-i\right)\overline{(z-i)}$ est réel, puisqu'on a multiplié par $|z-i|^{2}>0$. Avec $z=x+iy$ et $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ : $$\frac{1}{z}-i=\frac{x-iy}{r^{2}}-i=\frac{x-i\left(y+r^{2}\right)}{r^{2}} \qquad ; \qquad \overline{z-i}=x-i(y-1)$$ La partie imaginaire du produit $\big(x-i(y+r^{2})\big)\big(x-i(y-1)\big)$ vaut $-x(y-1)-x(y+r^{2})=-x\left(x^{2}+y^{2}+2y-1\right)$. Elle est nulle si et seulement si $x=0$ ou $x^{2}+(y+1)^{2}=2$. Le cas $z=i$ est contenu dans le premier. $$\boxed{\text{les points sont alignés} \iff z\in i\mathbb{R}^{*} \ \text{ ou } \ |z+i|=\sqrt{2}}$$ L'image est la réunion de l'axe des ordonnées privé de $O$ et du cercle de centre $-i$ et de rayon $\sqrt{2}$, qui ne passe pas par $O$. Exemple : $z=\sqrt{2}-i$ est sur ce cercle, puisque $2+0=2$. On a alors $\frac{1}{z}=\frac{\sqrt{2}+i}{3}$, et l'on vérifie que $\dfrac{\frac{1}{z}-i}{z-i}=\dfrac{1}{3}$ est réel.