ExerciceMaths expertes, chapitre 9 — Chaînes de Markov · Graphes probabilistes et matrices de transition

Exercice 1

Calcul

1. Construire la matrice de transition associée au graphe suivant :

2. Construire le graphe orienté associé à la matrice : $\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0 & 0 & 0{,}8 \\ 0 & 0{,}7 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ 0{,}5 & 0{,}4 & 0{,}1 & 0 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}3 \end{pmatrix}$

Corrigé

1. On lit sur le graphe, pour chaque sommet, les arêtes qui en partent. La ligne $i$ de la matrice regroupe les probabilités de transition depuis l'état $i$ .

Depuis	Transitions lues sur le graphe
$A$	$A\to A$ : $0{,}2$  ; $A\to B$ : $0{,}3$  ; $A\to C$ : $0{,}5$
$B$	$B\to A$ : $0{,}6$  ; $B\to C$ : $0{,}4$  ; pas de boucle en $B$
$C$	$C\to B$ : $0{,}9$  ; $C\to C$ : $0{,}1$  ; pas d'arête $C\to A$

$\boxed{T=\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}5 \\ 0{,}6 & 0 & 0{,}4 \\ 0 & 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}}$ On vérifie que chaque ligne a pour somme $1$ : la matrice est bien stochastique.

2. Chaque coefficient non nul $t_{ij}$ donne une flèche de l'état $i$ vers l'état $j$ , étiquetée par $t_{ij}$ . Les états sont notés $A$ , $B$ , $C$ , $D$ dans l'ordre des lignes.

On prendra garde à ne pas oublier les coefficients nuls : ils correspondent simplement à une flèche absente.

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Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Chaînes de Markov à espace d'états fini ou dénombrable

Thèmes

graphes probabilistes, matrice de transition

Notions

matrices (espace des), matrice de transition, chaîne de Markov