ExerciceMaths expertes, chapitre 9 — Chaînes de Markov · Graphes probabilistes et matrices de transition

Exercice 2

Calcul

Trois chaînes de télévision $A$ , $B$ , $C$ se partagent la diffusion de la coupe du monde de football. D’un match au suivant, elle évolue de la façon suivante :

• 10% des téléspectateurs de $A$ passent sur $B$ et 10% sur $C$  ;

• 20% des téléspectateurs de $B$ passent sur $A$ et 10% sur $C$  ;

• 30% des téléspectateurs de $C$ passent sur $A$ et 10% sur $B$ .

1. Représenter cette évolution par un graphe.

2. Pourquoi s’agit-il d’un graphe probabiliste ?

3. Déterminer la matrice de transition $M$ . (Dans l’ordre $A$ , $B$ , $C$ )

Corrigé

1. On complète d'abord chaque ligne : les téléspectateurs qui ne changent pas de chaîne restent, ce qui donne la boucle. $A : \; 1-0{,}1-0{,}1=0{,}8 \qquad ; \qquad B : \; 1-0{,}2-0{,}1=0{,}7 \qquad ; \qquad C : \; 1-0{,}3-0{,}1=0{,}6$

2. Un graphe est probabiliste lorsque chaque arête est étiquetée par un réel de $[0\,;1]$ et que, pour chaque sommet, la somme des étiquettes des arêtes qui en partent vaut $1$ . $\boxed{\text{Ici : } 0{,}8+0{,}1+0{,}1=1 \; ; \; 0{,}2+0{,}7+0{,}1=1 \; ; \; 0{,}3+0{,}1+0{,}6=1}$

3. $\boxed{M=\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}7 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}1 & 0{,}6 \end{pmatrix}}$

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Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Chaînes de Markov à espace d'états fini ou dénombrable

Thèmes

graphes probabilistes, matrice de transition

Notions

matrices (espace des), matrice de transition, chaîne de Markov