ExerciceMaths expertes, chapitre 9 — Chaînes de Markov · Graphes probabilistes et matrices de transition

Exercice 3

Calcul

Soit la matrice : $A=\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}5 \\ 0{,}4 & 0{,}2 & 0{,}4 \\ 0{,}1 & 0{,}7 & 0{,}2 \end{pmatrix}$

1. Pourquoi la matrice $A$ est-elle stochastique ?

2. On admet que la matrice $A$ est la matrice de transition d’une chaîne de Markov homogène liée aux états $\{1, 2, 3\}$ .

(a) Que signifie le terme « homogène » pour une chaîne de Markov ?

(b) Représenter le graphe associé à cette chaîne de Markov.

(c) Donner les probabilités suivantes : $P_{(X_{n}=1)}(X_{n+1} = 3)\qquad ,\qquad P_{(X_{n}=3)}(X_{n+1} = 1)\qquad ,\qquad P_{(X_{n}=2)}(X_{n+1} = 2)$

Corrigé

1. Tous les coefficients de $A$ appartiennent à $[0\,;1]$ , et la somme de chaque ligne vaut $1$ : $0{,}2+0{,}3+0{,}5=1 \qquad ; \qquad 0{,}4+0{,}2+0{,}4=1 \qquad ; \qquad 0{,}1+0{,}7+0{,}2=1$

\boxed{A \text{ est une matrice stochastique}}

2. (a) $\boxed{\begin{array}{l} \text{Une chaîne est \emph{homogène} lorsque les probabilités de transition ne dépendent pas} \\[1mm] \text{de l'instant } n : \text{ la matrice } A \text{ est la même à chaque étape.} \end{array}}$

(b)

(c) Chaque probabilité demandée se lit directement comme un coefficient de $A$ : $\boxed{P_{(X_{n}=1)}\left(X_{n+1}=3\right)=a_{13}=0{,}5}$

\boxed{P_{(X_{n}=3)}\left(X_{n+1}=1\right)=a_{31}=0{,}1}

$\boxed{P_{(X_{n}=2)}\left(X_{n+1}=2\right)=a_{22}=0{,}2}$ L'ordre des indices est essentiel : le premier désigne l'état de départ, le second l'état d'arrivée.

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Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Chaînes de Markov à espace d'états fini ou dénombrable

Thèmes

graphes probabilistes, matrice de transition, chaînes de markov, probabilités conditionnelles

Notions

matrices (espace des), variable aléatoire, espace probabilisé, matrice de transition, chaîne de Markov