ExerciceMaths expertes, chapitre 9 — Chaînes de Markov · Graphes probabilistes et matrices de transition

Exercice 4

Calcul

Représenter le graphe des matrices de transition $T$ des chaînes de Markov homogènes suivantes. On prendra comme espace des états : $\{A, B, C, \dots \}$ .

1. $T=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0{,}6&0&0{,}4\\0&1&0 \end{pmatrix}$

2. $T=\begin{pmatrix} 0{,}6&0{,}4&0\\0{,}55&0{,}2 &0{,}25 \\0 &0{,}9&0{,}1 \end{pmatrix}$

3. $T=\begin{pmatrix} 0{,}5&0&0{,}5 &0\\ 0{,}1 &0{,}2& 0{,}4 &0{,}3\\0& 1 &0 &0\\0{,}2& 0{,}3& 0{,}5& 0\end{pmatrix}$

Corrigé

1. Les lignes donnent $A\to B$ : $1$  ; $B\to A$ : $0{,}6$ et $B\to C$ : $0{,}4$  ; $C\to B$ : $1$ . Aucune boucle.

L'état $A$ ne peut être quitté que vers $B$ , et $C$ de même : la chaîne oscille autour de $B$ .

Il n'y a aucune arête entre $A$ et $C$ : les coefficients $t_{13}$ et $t_{31}$ sont nuls.

L'état $C$ ne renvoie que vers $B$ , avec une probabilité $1$ : sa ligne ne comporte qu'un seul coefficient non nul. On lit la ligne de $A$ avec soin : $A$ mène à $A$ et à $C$ (troisième colonne), et non à $D$ .

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Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Thèmes

graphes probabilistes, chaînes de markov

Notions

variable aléatoire