Exercice 5 Reconnaître une matrice stochastique

1. Une matrice est stochastique si ses coefficients sont dans $[0\,;1]$ et si la somme de chaque ligne vaut $1$.

• $M_{1}$ : $0{,}3+0{,}7=1$ et $0{,}6+0{,}4=1$ : stochastique.

• $M_{2}$ : $0{,}2+0{,}7=0{,}9\neq 1$ : non stochastique.

• $M_{3}$ : les lignes ont bien pour somme $1$, mais $1{,}2$ et $-0{,}2$ ne sont pas des probabilités : non stochastique.

• $M_{4}$ : $0{,}2+0{,}5=0{,}7\neq 1$ : non stochastique. Ce sont ses colonnes qui ont pour somme $1$. L'erreur la plus répandue est de vérifier les colonnes au lieu des lignes : la ligne $i$ regroupe les probabilités de sortie de l'état $i$, qui doivent totaliser $1$.

2. Si $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, alors $MU=\begin{pmatrix} a+b \\ c+d \end{pmatrix}$, qui est égal à $U$ si et seulement si les deux lignes ont pour somme $1$. Les coefficients étant positifs, ils sont alors tous inférieurs ou égaux à $1$. $\boxed{M \text{ stochastique} \iff MU=U}$

3. Si $M$ et $N$ sont stochastiques, $MN$ est à coefficients positifs, comme somme de produits de positifs, et $(MN)U=M(NU)=MU=U$ : $\boxed{MN \text{ est stochastique}}$. Par récurrence, $M^{n}U=U$ pour tout $n$ : toute puissance de $M$ est stochastique. On retrouve que $P^{n}$ est une matrice de transition, celle du passage en $n$ étapes (relation de Chapman-Kolmogorov). Le même raisonnement vaut pour des matrices de taille quelconque.