ExerciceMaths expertes, chapitre 9 — Chaînes de Markov · Calcul de distributions

Exercice 6

Démonstration

Dans une usine, deux machines $A$ et $B$ peuvent tomber en panne de manière indépendante l’une de l’autre dans la journée avec une probabilité $\dfrac{1}{3}$ . On suppose que si une machine tombe en panne, elle est réparée dans la nuit mais que l’on ne peut réparer qu’une seule machine en une nuit. On note $X_{n}$ le nombre de machines en panne au matin du $n$ -ième jour.

1. (a) Justifier que la suite $(X_{n})$ forme une chaîne de Markov homogène.

(b) Pourquoi peut-on considérer deux états ? Quels sont-ils ?

2. (a) On appelle $P_{A}$ et $P_{B}$ les événements correspondant à « la machine $A$ est en panne » et « la machine $B$ est en panne ». Compléter le tableau de probabilité double entrée suivant :

2 $\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & P_{A} & \overline{P_{A}} & \text{Total} \\ \hline P_{B} & & & \dfrac{1}{3} \\ \hline \overline{P_{B}} & & & \\ \hline \text{Total} & & & 1 \\ \hline \end{array}$

(b) En déduire la matrice de transition de cette chaîne de Markov.

(c) Représenter le graphe de cette chaîne de Markov.

Corrigé

1. (a) L'état du système au matin du jour $n+1$ ne dépend que du nombre de machines en panne au matin du jour $n$ : les pannes de la journée sont indépendantes de ce qui s'est produit les jours précédents, et la réparation nocturne ne dépend que de l'état du soir. $\boxed{(X_{n}) \text{ est une chaîne de Markov}}$ De plus les probabilités de panne, égales à $\dfrac{1}{3}$ , ne dépendent pas du jour considéré : $\boxed{\text{la chaîne est homogène}}$

(b) Au soir, il y a au plus $2$ machines en panne, et l'on en répare exactement une lorsqu'il y en a au moins une. Il reste donc au matin au plus une machine en panne. $\boxed{\text{Les états possibles sont } 0 \text{ et } 1}$ L'état $2$ est inaccessible dès le deuxième matin : c'est ce qui permet de se limiter à deux états.

2. (a) Les deux pannes étant indépendantes, chaque case du tableau est le produit des deux probabilités marginales.

\begin{array}{|c||c|c||c|} \hline & P_{A} & \overline{P_{A}} & \text{Total} \\ \hline P_{B} & \dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{3} \\ \hline \overline{P_{B}} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{4}{9} & \dfrac{2}{3} \\ \hline \hline \text{Total} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & 1 \\ \hline \end{array}

(b) Depuis l'état $0$ (les deux machines fonctionnent le matin) : elles peuvent toutes deux tomber en panne dans la journée.

• Aucune panne : probabilité $\dfrac{4}{9}$ , rien à réparer, on repart de $0$ .

• Une seule panne : probabilité $\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}$ , elle est réparée la nuit, on repart de $0$ .

• Deux pannes : probabilité $\dfrac{1}{9}$ , une seule est réparée, on repart de $1$ .

P(0\to 0)=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=\frac{8}{9} \qquad ; \qquad P(0\to 1)=\frac{1}{9}

Depuis l'état $1$ : une machine est déjà en panne, seule l'autre peut tomber. $P(1\to 0)=\frac{2}{3} \qquad \text{(l'autre tient : on répare la seule en panne)}$

P(1\to 1)=\frac{1}{3} \qquad \text{(l'autre tombe : deux pannes, une seule réparée)}

\boxed{T=\begin{pmatrix} \dfrac{8}{9} & \dfrac{1}{9} \\[3mm] \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}}

(c)

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Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Principe de récurrence Chaînes de Markov à espace d'états fini ou dénombrable

Thèmes

graphes probabilistes, matrice de transition, chaînes de markov, probabilités conditionnelles, suites

Notions

matrices (espace des), variable aléatoire, espace probabilisé, matrice de transition, chaîne de Markov