Feuille d'exercicesMaths expertes, chapitre 9

Chaînes de Markov

23 exercices corrigés · 10 7 5 1

Graphes probabilistes et matrices de transition

Exercice 1 1. Construire la matrice de transition associée au graphe suivant: 2. Construire le graphe orienté associé à la matrice: begin pmatrix 0,2 & 0 & 0 &…
Exercice 2 Trois chaînes de télévision A, B, C se partagent la diffusion de la coupe du monde de football. D’un match au suivant, elle évolue de la façon…
Exercice 3 Soit la matrice: A=begin pmatrix 0,2 & 0,3 & 0,5 0,4 & 0,2 & 0,4 0,1 & 0,7 & 0,2 end pmatrix 1. Pourquoi la matrice A est-elle stochastique ? 2. On…
Exercice 4 Représenter le graphe des matrices de transition T des chaînes de Markov homogènes suivantes. On prendra comme espace des états: A, B, C, …. 1.…
Exercice 5 · Reconnaître une matrice stochastique 1. Parmi les matrices suivantes, lesquelles sont stochastiques ? Justifier. M_1=begin pmatrix 0,3 & 0,7 0,6 & 0,4 end pmatrix M_2=begin pmatrix 0,5…

Exercice 6 Dans une usine, deux machines A et B peuvent tomber en panne de manière indépendante l’une de l’autre dans la journée avec une probabilité 1/3. On…
Exercice 7 On considère une chaîne de Markov (X_n) admettant le graphe probabiliste ci-contre. 1. On a P(X_0=A)=0,2 et P(X_0=B)=0,5. Déterminer les…
Exercice 8 On considère que la météo varie entre deux états beau et mauvais temps. Après un jour de beau temps, on a une chance sur deux que le temps change le…
Exercice 9 Deux marques de lessive A et B se partagent un marché. D'un mois sur l'autre, 80 % des clients de A lui restent fidèles, tandis que 30 % des clients…
Exercice 10 · Arbre et puissance de matrice Un robot aspirateur passe d'une pièce à l'autre d'un appartement de trois pièces: le salon S, la cuisine C et la chambre H. Toutes les dix minutes,…
Exercice 11 Un garagiste contrôle tous les mois l’état d’une pièce de moteur. Elle peut se trouver dans les états suivants: fonctionnelle (F), usée (U) ou…

Exercice 12 Dans une ville il peut venter, neiger ou grêler. Le vent et la grêle ne restent jamais deux jours de suite. S’il vente un jour donné, le lendemain…
Exercice 13 Un simulateur de jeux est programmé pour le niveau difficile de la façon suivante: • La personne a 15 % de chance de réussite au premier jeu, puis;…
Exercice 14 · Vitesse de convergence On considère une chaîne de Markov à deux états A et B, de matrice de transition P=begin pmatrix 0,9 & 0,1 0,3 & 0,7 end pmatrix, et l'on note…
Exercice 15 Une chaîne de Markov a pour matrice de transition P=begin pmatrix 0,5 & 0,3 & 0,2 0,2 & 0,6 & 0,2 0,1 & 0,3 & 0,6 end pmatrix. 1. Justifier que…

Exercice 16 Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition. Les scientifiques ont découvert qu’un…
Exercice 17 On dispose de deux urnes A et B. Initialement l’urne A contient trois boules numérotées 1, 2, 3. L’urne B est vide. À chaque instant, on tire au…
Exercice 18 · La puce du cours On reprend l'exemple du cours: une puce saute d'un sommet à l'autre d'un triangle, sans jamais rester sur place, de façon équiprobable. On note P la…
Exercice 19 · La ruine du joueur Un joueur possède 1 € et joue à pile ou face avec une pièce équilibrée: il gagne 1 € s'il obtient pile, il perd 1 € sinon. Il s'arrête lorsqu'il est…

Exercice 20 · Tout ce qui est possible finit par arriver On lance un dé non pipé de façon répétée. On note X_n l'état après n lancers: X_n=0 si aucun 6 n'est encore sorti, X_n=1 sinon. 1. Justifier que…
Exercice 21 · Principe de Hardy-Weinberg Un gène possède deux allèles notés a et A. Les trois génotypes possibles sont donc aa, aA, AA, avec des probabilités respectives x_1, 2y_1, z_1.…
Exercice 22 · Puissances d'une matrice de transition à deux états Soient p et q deux réels de ]0;1[, et P=begin pmatrix 1-p & p q & 1-q end pmatrix. On pose r=1-p-q et: A= 1/(p+q) begin pmatrix q & p q & p end…
Exercice 23 · Deux piles consécutifs On lance une pièce équilibrée de façon répétée. Pour n∈ℕ^(), on note p_n la probabilité de n'avoir jamais observé deux piles consécutifs au cours…