ExerciceMaths expertes, chapitre 9 — Chaînes de Markov · Calcul de distributions

Exercice 9

Calcul

Deux marques de lessive $A$ et $B$ se partagent un marché. D'un mois sur l'autre, $80\,\%$ des clients de $A$ lui restent fidèles, tandis que $30\,\%$ des clients de $B$ passent à $A$ . Au départ, chaque marque a la moitié des clients. On note $\pi_{n}=\begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} \end{pmatrix}$ la répartition des clients au bout de $n$ mois.

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste et donner la matrice de transition $P$ .

2. Calculer $\pi_{1}$ puis $\pi_{2}$ .

3. Calculer $P^{2}$ . Quelle est la probabilité qu'un client de $B$ soit client de $A$ deux mois plus tard ?

Corrigé

1. Depuis $A$ : $0{,}8$ vers $A$ , donc $0{,}2$ vers $B$ . Depuis $B$ : $0{,}3$ vers $A$ , donc $0{,}7$ vers $B$ .

\boxed{P=\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}}

2. $\pi_{0}=\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ , puis : $\pi_{1}=\pi_{0}P=\begin{pmatrix} 0{,}4+0{,}15 & 0{,}1+0{,}35 \end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix} 0{,}55 & 0{,}45 \end{pmatrix}}$

$\pi_{2}=\pi_{1}P=\begin{pmatrix} 0{,}44+0{,}135 & 0{,}11+0{,}315 \end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix} 0{,}575 & 0{,}425 \end{pmatrix}}$ La marque $A$ gagne des parts de marché.

3. $P^{2}=\begin{pmatrix} 0{,}64+0{,}06 & 0{,}16+0{,}14 \\ 0{,}24+0{,}21 & 0{,}06+0{,}49 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}45 & 0{,}55 \end{pmatrix}$ D'après la relation de Chapman-Kolmogorov, la probabilité de passer de $B$ à $A$ en deux mois est le coefficient en ligne $2$ et colonne $1$ de $P^{2}$ : $\boxed{0{,}45}$ . On le vérifie en listant les deux trajets : $B\to A\to A$ , de probabilité $0{,}3\times 0{,}8=0{,}24$ , et $B\to B\to A$ , de probabilité $0{,}7\times 0{,}3=0{,}21$ .

Énoncé PDF, p. 3 Corrigé PDF, p. 6 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Chaînes de Markov à espace d'états fini ou dénombrable

Thèmes

graphes probabilistes, matrice de transition, probabilités conditionnelles, distributions, puissances de matrices

Notions

matrices (espace des), espace probabilisé, matrice de transition, chaîne de Markov