ExerciceMaths expertes, chapitre 9 — Chaînes de Markov · Calcul de distributions

Exercice 10 Arbre et puissance de matrice

Calcul

Un robot aspirateur passe d'une pièce à l'autre d'un appartement de trois pièces : le salon $S$ , la cuisine $C$ et la chambre $H$ . Toutes les dix minutes, il change de pièce ou reste sur place selon la matrice de transition, dans l'ordre $S$ , $C$ , $H$ : $P=\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 & 0 \\ 0{,}5 & 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ Le robot part du salon.

1. Construire l'arbre pondéré décrivant ses deux premiers déplacements.

2. En déduire la probabilité qu'il soit dans la chambre au bout de vingt minutes.

3. Calculer $P^{2}$ et retrouver ce résultat à l'aide de la relation de Chapman-Kolmogorov.

4. S'il part de la chambre, quelle est la probabilité qu'il soit dans la cuisine au bout de vingt minutes ? Retrouver ce résultat en énumérant les trajets possibles.

Corrigé

1. Les branches de probabilité nulle ( $C\to H$ et $H\to C$ ) sont omises.

Les deux chemins menant en $H$ au bout de deux déplacements sont signalés en bleu pétrole.

2. Par la formule des probabilités totales, en suivant les deux chemins bleu pétrole : $P(X_{2}=H)=0{,}5\times 0{,}2+0{,}2\times 0{,}5=\boxed{0{,}2}$

3. $P^{2}=\begin{pmatrix} 0{,}47 & 0{,}33 & 0{,}2 \\ 0{,}44 & 0{,}48 & 0{,}08 \\ 0{,}5 & 0{,}15 & 0{,}35 \end{pmatrix}$ Le robot part du salon, état numéro $1$ . La probabilité cherchée est le coefficient de $P^{2}$ en ligne $1$ et colonne $3$ : on retrouve $0{,}2$ . Le calcul de ce coefficient, $0{,}5\times 0{,}2+0{,}3\times 0+0{,}2\times 0{,}5$ , est exactement celui de l'arbre : un coefficient de $P^{2}$ résume un arbre à deux niveaux.

4. On lit le coefficient en ligne $3$ et colonne $2$ de $P^{2}$ : $\boxed{0{,}15}$ . Le seul trajet possible est $H\to S\to C$ , de probabilité $0{,}5\times 0{,}3=0{,}15$ , puisque le robot ne passe jamais directement de la chambre à la cuisine.

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Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Chaînes de Markov à espace d'états fini ou dénombrable

Thèmes

matrice de transition, probabilités conditionnelles, puissances de matrices, arbres pondérés, dés et pièces

Notions

matrices (espace des), espace probabilisé, matrice de transition, chaîne de Markov