Exercice 11

1. La dernière ligne est $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ : depuis l'état $D$, on reste en $D$ avec probabilité $1$. $$\boxed{\text{Une pièce défaillante le reste : l'état } D \text{ est \emph{absorbant}}}$$ C'est cohérent avec l'énoncé : le garagiste constate l'état de la pièce mais ne la remplace pas.

2.

Le graphe est « à sens unique » : on ne peut que se dégrader, jamais s'améliorer.

3. La pièce étant neuve au départ, $\pi_{0}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, et $\pi_{6}=\pi_{0}T^{6}$ est la première ligne de $T^{6}$.

On peut aussi raisonner directement. Pour être encore fonctionnelle au bout de $6$ mois, la pièce doit ne jamais s'être usée : $$P(X_{6}=F)=0{,}9^{6}\approx 0{,}531$$ Pour être usée sans être défaillante, il faut choisir le mois où elle s'est usée. Enfin : $$P(X_{6}=D)=1-P(X_{6}=F)-P(X_{6}=U)$$ La calculatrice donne, en calculant $T^{6}$ : $$\pi_{6}\approx\begin{pmatrix} 0{,}531 & 0{,}162 & 0{,}307 \end{pmatrix}$$

$$\boxed{P(X_{6}=D)\approx 0{,}307}$$ Il y a donc environ $31\ \%$ de risque que la pièce soit défaillante au bout de six mois.