Exercice 12

1. Le temps du lendemain ne dépend que du temps du jour, et les règles énoncées sont les mêmes chaque jour. $$\boxed{\text{C'est une chaîne de Markov homogène, d'états } V, \; N, \; G}$$

2. On traduit chaque phrase :

• « le vent et la grêle ne restent jamais deux jours de suite » : $P(V\to V)=0$ et $P(G\to G)=0$ ;

• après du vent, neige ou grêle de façon équiprobable : $P(V\to N)=P(V\to G)=\dfrac{1}{2}$ ;

• après la neige : $P(N\to V)=\dfrac{1}{3}$ et $P(N\to N)=\dfrac{1}{2}$, d'où $P(N\to G)=1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$ ;

• après la grêle : $P(G\to N)=2\,P(G\to V)$ et $P(G\to G)=0$, donc $3\,P(G\to V)=1$, soit $P(G\to V)=\dfrac{1}{3}$ et $P(G\to N)=\dfrac{2}{3}$.

3. Il s'agit de la probabilité de passer de $N$ à $V$ en deux étapes, c'est-à-dire du coefficient d'indice $(N,V)$ de $T^{2}$. La formule des probabilités totales donne : $$\begin{aligned} P(N\to\ \cdot\ \to V) &= P(N\to V)P(V\to V)+P(N\to N)P(N\to V)+P(N\to G)P(G\to V) \\ &= \frac{1}{3}\times 0+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times\frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{6}+\frac{1}{18}=\frac{3}{18}+\frac{1}{18}=\boxed{\frac{2}{9}} \end{aligned}$$

4. On cherche $\pi=\begin{pmatrix} v & n & g \end{pmatrix}$ vérifiant $\pi T=\pi$ et $v+n+g=1$. Le système $\pi T=\pi$ s'écrit : $$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{3}n+\dfrac{1}{3}g=v \\[2mm] \dfrac{1}{2}v+\dfrac{1}{2}n+\dfrac{2}{3}g=n \\[2mm] \dfrac{1}{2}v+\dfrac{1}{6}n=g \end{array}\right.$$ La première équation donne $n+g=3v$, et comme $v+n+g=1$ il vient $v+3v=1$, soit $v=\dfrac{1}{4}$. La troisième donne alors $g=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6}n$, que l'on reporte dans $n+g=\dfrac{3}{4}$ : $$n+\frac{1}{8}+\frac{1}{6}n=\frac{3}{4} \iff \frac{7}{6}n=\frac{5}{8} \iff n=\frac{15}{28}$$ puis $g=\dfrac{3}{4}-\dfrac{15}{28}=\dfrac{21-15}{28}=\dfrac{6}{28}=\dfrac{3}{14}$. $$\boxed{\pi=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} & \dfrac{15}{28} & \dfrac{3}{14} \end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix} 0{,}250 & 0{,}536 & 0{,}214 \end{pmatrix}}$$ Vérification : $\dfrac{1}{4}+\dfrac{15}{28}+\dfrac{3}{14}=\dfrac{7+15+6}{28}=1$.

À long terme, il neige donc un peu plus d'un jour sur deux dans cette ville.