Exercice 13

1. (a) L'issue du jeu $n+1$ ne dépend que du résultat du jeu $n$ — gagné ou perdu — et non de l'historique complet. Les probabilités énoncées ne dépendent pas du numéro du jeu. $$\boxed{(X_{n}) \text{ est une chaîne de Markov homogène d'espace des états } \{G\,;P\}}$$ où $G$ signifie « le joueur gagne » et $P$ « le joueur perd ».

(b) Si le joueur a gagné, il gagne le suivant avec probabilité $\dfrac{1}{4}$, donc il perd avec probabilité $\dfrac{3}{4}$. S'il a perdu, il gagne le suivant avec probabilité $\dfrac{2}{5}$, donc il perd avec probabilité $\dfrac{3}{5}$.

2. (a) Le premier jeu est réussi avec probabilité $0{,}15$ : $$\boxed{\pi_{0}=\begin{pmatrix} 0{,}15 & 0{,}85 \end{pmatrix}}$$ Chaque passage d'un jeu au suivant se traduit par une multiplication à droite par $P$ : $$\boxed{\pi_{n}=\pi_{0}\,P^{n}}$$

(b) Avec la convention précédente, $\pi_{0}$ décrit le premier jeu : le cinquième jeu correspond donc à $\pi_{4}$. $$\pi_{4}=\pi_{0}\,P^{4}\approx\begin{pmatrix} 0{,}3477 & 0{,}6523 \end{pmatrix}$$

(c) On cherche $\pi=\begin{pmatrix} g & p \end{pmatrix}$ tel que $\pi P=\pi$ et $g+p=1$. La première équation s'écrit : $$\frac{1}{4}g+\frac{2}{5}p=g \iff \frac{2}{5}p=\frac{3}{4}g \iff p=\frac{15}{8}g$$ En reportant dans $g+p=1$ : $$g\left(1+\frac{15}{8}\right)=1 \iff \frac{23}{8}g=1 \iff g=\frac{8}{23}$$

$$\boxed{\pi=\begin{pmatrix} \dfrac{8}{23} & \dfrac{15}{23} \end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix} 0{,}348 & 0{,}652 \end{pmatrix}}$$ On remarque que $\pi_{4}$ est déjà très proche de $\pi$ : la convergence est rapide.

(d) Pour que les chances soient les mêmes quel que soit le nombre de parties, il faut que la distribution ne change plus d'un jeu au suivant, c'est-à-dire que $\pi_{0}$ soit déjà la distribution invariante. $$\boxed{\text{Il faut programmer une probabilité de réussite initiale de } \frac{8}{23}\approx 34{,}8\ \%}$$