Exercice 14 Vitesse de convergence

1.

On cherche $\pi=\begin{pmatrix} x & 1-x \end{pmatrix}$ avec $\pi P=\pi$ : $0{,}9x+0{,}3(1-x)=x$, soit $0{,}4x=0{,}3$ et $x=\frac{3}{4}$. $\boxed{\pi=\begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}}$. C'est la formule $\left(\frac{q}{p+q},\frac{p}{p+q}\right)$ du cours, avec $p=0{,}1$ et $q=0{,}3$.

2. $\pi_{n+1}=\pi_{n}P$ donne, pour la première coordonnée : $x_{n+1}=0{,}9x_{n}+0{,}3(1-x_{n})=\boxed{0{,}6\,x_{n}+0{,}3}$.

3. $u_{n+1}=0{,}6x_{n}+0{,}3-0{,}75=0{,}6x_{n}-0{,}45=0{,}6\left(x_{n}-0{,}75\right)=0{,}6\,u_{n}$ : $(u_{n})$ est géométrique de raison $0{,}6$. Comme la chaîne part de $B$, $x_{0}=0$ et $u_{0}=-\frac{3}{4}$, donc : $$\boxed{x_{n}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\times 0{,}6^{n}}$$

4. Comme $0<0{,}6<1$, $0{,}6^{n}\to 0$, donc $x_{n}\to\frac{3}{4}$ et $\boxed{\pi_{n}\to\begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}=\pi}$, conformément à la Proposition 4.

On cherche $\frac{3}{4}\times 0{,}6^{n}<0{,}01$. La suite $(0{,}6^{n})$ est décroissante, et $\frac{3}{4}\times 0{,}6^{8}\approx 0{,}0126$, tandis que $\frac{3}{4}\times 0{,}6^{9}\approx 0{,}0076$. $\boxed{n=9}$. Au bout de neuf étapes, la distribution est donc à moins d'un centième de la distribution invariante.