Exercice 15

1. Aucun coefficient de $P$ hors de la diagonale n'est nul : d'après la Proposition 3, la chaîne admet une unique distribution invariante.

2. $\pi P=\pi$ s'écrit, colonne par colonne, et en ajoutant la condition $a+b+c=1$ : $$\left\{\begin{array}{l} 0{,}5a+0{,}2b+0{,}1c=a \\ 0{,}3a+0{,}6b+0{,}3c=b \\ 0{,}2a+0{,}2b+0{,}6c=c \\ a+b+c=1 \end{array}\right.$$ La deuxième équation donne $0{,}3(a+c)=0{,}4b$, et avec $a+c=1-b$ : $0{,}3-0{,}3b=0{,}4b$, soit $b=\frac{3}{7}$. La troisième donne $0{,}2(a+b)=0{,}4c$, soit $a+b=2c$, et avec $a+b=1-c$ : $c=\frac{1}{3}$. Enfin $a=1-\frac{3}{7}-\frac{1}{3}=\frac{5}{21}$. La première équation est alors vérifiée : $0{,}5\times\frac{5}{21}+0{,}2\times\frac{9}{21}+0{,}1\times\frac{7}{21}=\frac{2{,}5+1{,}8+0{,}7}{21}=\frac{5}{21}=a$. $$\boxed{\pi=\begin{pmatrix} \frac{5}{21} & \frac{3}{7} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix} 0{,}238 & 0{,}429 & 0{,}333 \end{pmatrix}}$$ L'erreur la plus répandue est d'oublier la condition $a+b+c=1$ : le système $\pi P=\pi$ seul a une infinité de solutions, toutes proportionnelles.

3. La calculatrice donne $P^{20}\approx\begin{pmatrix} 0{,}238 & 0{,}429 & 0{,}333 \\ 0{,}238 & 0{,}429 & 0{,}333 \\ 0{,}238 & 0{,}429 & 0{,}333 \end{pmatrix}$ : les trois lignes sont presque égales à $\pi$. Quel que soit l'état de départ, la loi de $X_{20}$ est très proche de $\pi$ : la chaîne a « oublié » son point de départ. C'est ce qu'exprime $\pi_{20}=\pi_{0}P^{20}\approx\pi$ pour toute distribution initiale $\pi_{0}$.