Exercice 18 La puce du cours

1. $J-I$ a des $0$ sur la diagonale et des $1$ ailleurs : la moitié donne bien $P$. Chaque coefficient de $J^{2}$ est la somme de trois produits $1\times 1$, d'où $J^{2}=3J$.

2. On note $\mathcal{P}_{n}$ l'égalité annoncée.

Initialisation : Pour $n=0$ : $\frac{1}{3}J+I-\frac{1}{3}J=I=P^{0}$.

Hérédité : Supposons $\mathcal{P}_{n}$ vraie. On calcule d'abord, à l'aide de $J^{2}=3J$ : $$JP=\frac{1}{2}\left(J^{2}-J\right)=\frac{1}{2}(3J-J)=J$$

$$\left(I-\tfrac{1}{3}J\right)P=P-\tfrac{1}{3}J=\tfrac{1}{2}J-\tfrac{1}{2}I-\tfrac{1}{3}J=-\tfrac{1}{2}\left(I-\tfrac{1}{3}J\right)$$ Ainsi $P^{n+1}=P^{n}P=\frac{1}{3}J+\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(I-\frac{1}{3}J\right)$, ce qui est $\mathcal{P}_{n+1}$.

Conclusion : L'égalité est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

3. $r_{n}$ est un coefficient diagonal de $P^{n}$ (Chapman-Kolmogorov) : $$\boxed{r_{n}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}}$$ Pour $n=3$ : $r_{3}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\times\frac{1}{8}=\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$, c'est le coefficient $0{,}25$ calculé dans le cours. On vérifie aussi $r_{1}=0$ (la puce ne reste jamais sur place) et $r_{2}=\frac{1}{2}$.

4. Comme $\left|-\frac{1}{2}\right|<1$, $\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\to 0$, d'où $\boxed{r_{n}\to\frac{1}{3}}$. Plus généralement $P^{n}\to\frac{1}{3}J$, dont toutes les lignes valent $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$. Cette distribution est invariante, puisque $\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}P=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, chaque colonne de $P$ ayant pour somme $1$. Elle est unique d'après la Proposition 3. $$\boxed{\pi=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}}$$ À long terme, la puce a autant de chances d'être sur chacun des trois sommets, ce que la symétrie du triangle laissait prévoir. La probabilité de retour oscille autour de $\frac{1}{3}$ en s'en rapprochant, à cause du signe alterné de $\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}$. Ce calcul est celui du graphe complet $K_{3}$ (exercice 29 du chapitre 6), divisé par $2^{n}$.